फलन का प्रतिलोम: Difference between revisions

Revision as of 09:42, 28 November 2024

प्रतिलोम फलन को मूल फलन $f$ के संबंध में $f^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है और मूल फलन का प्रांत प्रतिलोम फलन की श्रेणी बन जाता है और दिए गए फलन की श्रेणी प्रतिलोम फलन का प्रांत बन जाती है। प्रतिलोम फलन का आलेख रेखा $y=x$ के संदर्भ में $(x,y)$ को $(y,x)$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है।

आइए प्रतिलोम फलन , प्रतिलोम फलन को ज्ञात करने के विधियों और प्रतिलोम फलन के आलेख के बारे में अधिक जानें।

एक फलन मानों को स्वीकार करता है, इन मानों पर विशेष ऑपरेशन करता है और आउटपुट उत्पन्न करता है। प्रतिलोम फलन परिणामी के साथ सहमत होता है, संचालित होता है और मूल फलन पर वापस पहुँचता है।

परिभाषा

फलन $f$ का प्रतिलोम $f^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है और यह केवल तभी उपस्थित होता है जब $f$ एक-एक और आच्छादक फलन दोनों हो। ध्यान दें कि $f^{-1}$ , $f$ का प्रतिलोम नहीं है। फलन $f$ और आच्छादक फलन $f^{-1}$ की संरचना $x$ का प्रांत मान देती है।

$(fof^{-1})(x)=(f^{-1}of)(x)=x$

फलन ' $f$ ' को प्रतिलोम फलन माना जाने के लिए, $y\in Y$ श्रेणी में प्रत्येक तत्व को प्रांत समुच्चय में किसी तत्व $x\in X$ से प्रतिचित्रित किया गया है, और इस तरह के संबंध को एक-एक संबंध या निषेधाज्ञा संबंध कहा जाता है। साथ ही दिए गए फलन के प्रतिलोम $f^{-1}$ का प्रांत $y\in Y$ है जो सह-प्रांत समुच्चय में एक अलग तत्व $x\in X$ से संबंधित है, और दिए गए फलन ' $f$ ' के संदर्भ में इस तरह का संबंध एक आच्छादक फलन या एक प्रक्षेपण फलन है। इस प्रकार प्रतिलोम फलन एक निषेधात्मक और एक अधिरोपण फलन होने के कारण, एक द्विआवेशन फलन कहलाता है।

आइए एक फलन $f$ पर विचार करें जिसका प्रांत समुच्चय $X$ है और सहप्रांत समुच्चय $Y$ है। फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है यदि कोई अन्य फलन $g$ मौजूद है जिसका प्रांत $Y$ है और इसका सहप्रांत $X$ है। इन दो फलन को $f(x)=Y,$ और $g(y)=X$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस स्थिति के लिए, यदि फलन $f(x)$ प्रतिलोम है, तो इसका प्रतिलोम फलन $g(x)$ अद्वितीय है।

यदि दो फलन $f(x)$ , और $g(x)$ की संरचना के परिणामस्वरूप एक पहचान फलन $f(g(x))=x$ होता है, तो दोनों फलन एक दूसरे के प्रतिलोम कहलाते हैं। यदि $x$ पर इनपुट के रूप में फलन के अनुप्रयोग से $y$ का $n$ आउटपुट मिलता है, तो $y$ पर दूसरे फलन $g$ के अनुप्रयोग से $x$ का मान वापस मिलना चाहिए। इसलिए फलन का प्रतिलोम फलन को उलट देता है। दिए गए फलन का प्रांत प्रतिलोम फलन की श्रेणी बन जाता है, और दिए गए फलन की श्रेणी प्रतिलोम फलन का प्रांत बन जाती है।

प्रतिलोम फलन ज्ञात करने की विधि

निम्नलिखित चरणों का क्रम फलन के प्रतिलोम को सरलता से ज्ञात करने में सहायता करेगा। यहाँ हम एक फलन $f(x)=ax+b$ पर विचार करते हैं, और निम्नलिखित चरणों के माध्यम से इस फलन का प्रतिलोम ज्ञात करने का लक्ष्य रखते हैं।

दिए गए फलन $f(x)=ax+b$ के लिए, $f(x)=y,$ को प्रतिस्थापित करें, जिससे $y=ax+b$ प्राप्त होगा।

फलन $y=ax+b$ में $x$ को $y$ से और $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करके $x=ay+b$ प्राप्त करें।

यहाँ $y$ के लिए व्यंजक $x=ay+b$ हल करें। और हमें $y={\frac {(x-b)}{a}}$

अंत में $y=f^{-1}(x)$ को प्रतिस्थापित करें, और हमें $f^{-1}(x)={\frac {(x-b)}{a}}$ प्राप्त होगा।

फलन का प्रतिलोम

प्रतिलोम फलन का आलेख

अंतःक्षेपक(इंजेक्टिव) फलन मूल फलन का प्रतिबिंब है जो रेखा $y=x$ के संदर्भ में है, और $(x,y)$ को $(y,x)$ के साथ समागमन(स्वैप) करके प्राप्त किया जाता है।

यदि दो फलन के आलेख दिए गए हैं, तो हम पहचान सकते हैं कि वे एक दूसरे के प्रतिलोम हैं या नहीं। यदि दोनों फलन के आलेख रेखा $y=x$ के संबंध में सममित हैं, तो हम कहते हैं कि दोनों फलन एक दूसरे के प्रतिलोम हैं। ऐसा इस तथ्य के कारण है कि यदि $(x,y)$ फलन पर स्थित है, तो $(y,x)$ इसके प्रतिलोम फलन पर स्थित है।

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-व्युत्क्रम फलन   को मूल फलन   f के संबंध में f-1 द्वारा दर्शाया जाता है और मूल फलन   का डोमेन व्युत्क्रम फलन   की श्रेणी बन जाता है और दिए गए फलन   की श्रेणी व्युत्क्रम फलन   का डोमेन बन जाती है। व्युत्क्रम फलन   का ग्राफ़ रेखा y = x के संदर्भ में (x, y) को (y, x) से बदलकर प्राप्त किया जाता है।
+प्रतिलोम फलन को मूल फलन <math>f</math> के संबंध में <math>f^{-1}</math> द्वारा दर्शाया जाता है और मूल फलन का प्रांत प्रतिलोम फलन की श्रेणी बन जाता है और दिए गए फलन  की श्रेणी प्रतिलोम फलन का प्रांत  बन जाती है। प्रतिलोम फलन का आलेख रेखा <math>y = x</math> के संदर्भ में <math>(x, y)</math> को <math>(y, x)</math> से बदलकर प्राप्त किया जाता है।
-आइए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, व्युत्क्रम फलन   को खोजने के चरणों और व्युत्क्रम फलन   के ग्राफ़ के बारे में अधिक जानें।
+आइए प्रतिलोम फलन , प्रतिलोम फलन को ज्ञात करने के विधियों और प्रतिलोम फलन  के आलेख के बारे में अधिक जानें।
-एक फलन   मानों को स्वीकार करता है, इन मानों पर विशेष ऑपरेशन करता है और आउटपुट उत्पन्न करता है। व्युत्क्रम फलन   परिणामी के साथ सहमत होता है, संचालित होता है और मूल फलन   पर वापस पहुँचता है।
+एक फलन मानों को स्वीकार करता है, इन मानों पर विशेष ऑपरेशन करता है और आउटपुट उत्पन्न करता है। प्रतिलोम फलन परिणामी के साथ सहमत होता है, संचालित होता है और मूल फलन पर वापस पहुँचता है।
 == परिभाषा ==
-फलन   f का व्युत्क्रम f-1 द्वारा दर्शाया जाता है और यह केवल तभी मौजूद होता है जब f एक-एक और आच्छादक फलन   दोनों हो। ध्यान दें कि f-1, f का व्युत्क्रम नहीं है। फलन   f और आच्छादक फलन   f-1 की संरचना x का डोमेन मान देती है।
+फलन <math>f</math> का प्रतिलोम <math>f^{-1}</math> द्वारा दर्शाया जाता है और यह केवल तभी उपस्थित होता है जब <math>f</math> एक-एक और आच्छादक फलन दोनों हो। ध्यान दें कि <math>f^{-1}</math>, <math>f</math> का प्रतिलोम नहीं है। फलन <math>f</math> और आच्छादक फलन <math>f^{-1}</math> की संरचना <math>x</math> का प्रांत  मान देती है।
-(f o f-1) (x) = (f-1 o f) (x) = x
+<math> (f o f^{-1}) (x) = (f^{-1} o f) (x) = x</math>
-फलन   'f' को व्युत्क्रम फलन   माना जाने के लिए, y ∈ Y श्रेणी में प्रत्येक तत्व को डोमेन सेट में किसी तत्व x ∈ X से मैप किया गया है, और इस तरह के संबंध को एक-एक संबंध या निषेधाज्ञा संबंध कहा जाता है। साथ ही दिए गए फलन   के व्युत्क्रम f-1 का डोमेन y ∈ Y है जो सह-डोमेन सेट में एक अलग तत्व x ∈ X से संबंधित है, और दिए गए फलन   'f' के संदर्भ में इस तरह का संबंध एक आच्छादक फलन   या एक प्रक्षेपण फलन   है। इस प्रकार व्युत्क्रम फलन एक निषेधात्मक और एक अधिरोपण फलन होने के कारण, एक द्विआवेशन फलन कहलाता है।
+फलन '<math>f</math>' को प्रतिलोम फलन माना जाने के लिए, <math>y \in Y</math> श्रेणी में प्रत्येक तत्व को प्रांत समुच्चय में किसी तत्व <math>x \in X</math> से  प्रतिचित्रित किया गया है, और इस तरह के संबंध को एक-एक संबंध या निषेधाज्ञा संबंध कहा जाता है। साथ ही दिए गए फलन के प्रतिलोम <math>f^{-1}</math> का प्रांत  <math>y \in Y</math> है जो सह-प्रांत  समुच्चय में एक अलग तत्व <math>x \in X</math> से संबंधित है, और दिए गए फलन '<math>f</math>' के संदर्भ में इस तरह का संबंध एक आच्छादक फलन या एक प्रक्षेपण फलन है। इस प्रकार प्रतिलोम फलन एक निषेधात्मक और एक अधिरोपण फलन होने के कारण, एक द्विआवेशन फलन कहलाता है।
-आइए एक फलन   f पर विचार करें जिसका डोमेन सेट X है और सहडोमेन सेट Y है। फलन   f व्युत्क्रमणीय है यदि कोई अन्य फलन   g मौजूद है जिसका डोमेन Y है और इसका सहडोमेन X है। इन दो फलन   को f(x) = Y, और g(y) = X के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस स्थिति के लिए, यदि फलन   f(x) व्युत्क्रम है, तो इसका व्युत्क्रम फलन   g(x) अद्वितीय है।
+आइए एक फलन <math>f</math> पर विचार करें जिसका प्रांत  समुच्चय <math>X </math> है और सहप्रांत समुच्चय <math>Y</math> है। फलन <math>f</math>  व्युत्क्रमणीय है यदि कोई अन्य फलन <math>g</math> मौजूद है जिसका प्रांत  <math>Y</math> है और इसका सहप्रांत  <math>X </math> है। इन दो फलन   को <math>f(x) = Y,</math>और <math>g(y) = X</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस स्थिति के लिए, यदि फलन <math>f(x)</math> प्रतिलोम है, तो इसका प्रतिलोम फलन <math>g(x)</math> अद्वितीय है।
-यदि दो फलन   f(x), और g(x) की संरचना के परिणामस्वरूप एक पहचान फलन   f(g(x))= x होता है, तो दोनों फलन   एक दूसरे के व्युत्क्रम कहलाते हैं। यदि x पर इनपुट के रूप में फलन   के अनुप्रयोग से y का n आउटपुट मिलता है, तो y पर दूसरे फलन   g के अनुप्रयोग से x का मान वापस मिलना चाहिए। इसलिए फलन   का व्युत्क्रम फलन   को उलट देता है। दिए गए फलन   का डोमेन व्युत्क्रम फलन   की श्रेणी बन जाता है, और दिए गए फलन   की श्रेणी व्युत्क्रम फलन   का डोमेन बन जाती है।
+यदि दो फलन <math>f(x)</math>, और <math>g(x)</math> की संरचना के परिणामस्वरूप एक पहचान फलन <math>f(g(x))= x</math> होता है, तो दोनों फलन  एक दूसरे के प्रतिलोम कहलाते हैं। यदि <math>x</math> पर इनपुट के रूप में फलन  के अनुप्रयोग से <math>y</math> का <math>n</math> आउटपुट मिलता है, तो <math>y</math> पर दूसरे फलन <math>g</math> के अनुप्रयोग से <math>x</math> का मान वापस मिलना चाहिए। इसलिए फलन  का प्रतिलोम फलन को उलट देता है। दिए गए फलन  का प्रांत  प्रतिलोम फलन  की श्रेणी बन जाता है, और दिए गए फलन  की श्रेणी प्रतिलोम फलन का प्रांत  बन जाती है।
-== व्युत्क्रम फलन ज्ञात करने की विधि ==
+== प्रतिलोम फलन ज्ञात करने की विधि ==
-निम्नलिखित चरणों का क्रम फलन   के व्युत्क्रम को आसानी से खोजने में मदद करेगा। यहाँ हम एक फलन   f(x) = ax + b पर विचार करते हैं, और निम्नलिखित चरणों के माध्यम से इस फलन   का व्युत्क्रम खोजने का लक्ष्य रखते हैं।
+निम्नलिखित चरणों का क्रम फलन के प्रतिलोम को सरलता से ज्ञात करने में सहायता करेगा। यहाँ हम एक फलन <math>f(x) = ax + b</math> पर विचार करते हैं, और निम्नलिखित चरणों के माध्यम से इस फलन का प्रतिलोम ज्ञात करने का लक्ष्य रखते हैं।
-दिए गए फलन   f(x) = ax + b के लिए, f(x) = y को प्रतिस्थापित करें, जिससे y = ax + b प्राप्त होगा।
+दिए गए फलन <math>f(x) = ax + b</math> के लिए, <math>f(x) = y,</math> को प्रतिस्थापित करें, जिससे <math>y = ax + b</math> प्राप्त होगा।
-फलन   y = ax + b में x को y से और y को x से प्रतिस्थापित करके x = ay + b प्राप्त करें।
+फलन  <math>y = ax + b</math> में <math>x</math> को <math>y</math> से और <math>y</math> को <math>x</math> से प्रतिस्थापित करके <math>x = ay + b</math> प्राप्त करें।
-यहाँ y के लिए व्यंजक x = ay + b हल करें। और हमें y = (x - b/a
+यहाँ <math>y</math> के लिए व्यंजक <math>x = ay + b</math> हल करें। और हमें <math>y = \frac{(x - b)}{a}</math>
-अंत में y = f-1(x) को प्रतिस्थापित करें, और हमें f-1(x) = (x - b)/a प्राप्त होगा।
+अंत में <math>y = f^{-1}(x)</math> को प्रतिस्थापित करें, और हमें  <math> f^{-1}(x)= \frac{(x - b)}{a}</math> प्राप्त होगा।
 [[File:फलन का प्रतिलोम.jpg|thumb|फलन का प्रतिलोम]]
-== व्युत्क्रम फलन का ग्राफ़ ==
+== प्रतिलोम फलन का आलेख ==
 अंतःक्षेपक(इंजेक्टिव) फलन मूल फलन का प्रतिबिंब है जो रेखा <math>y = x</math> के संदर्भ में है, और <math>(x, y)</math> को <math>(y, x)</math>के साथ  समागमन(स्वैप) करके प्राप्त किया जाता है।
-यदि दो फलन के ग्राफ़ दिए गए हैं, तो हम पहचान सकते हैं कि वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं या नहीं। यदि दोनों फलन  के ग्राफ़ रेखा <math>y = x</math> के संबंध में सममित हैं, तो हम कहते हैं कि दोनों फलन  एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। ऐसा इस तथ्य के कारण है कि यदि <math>(x, y)</math> फलन पर स्थित है, तो <math>(y, x)</math> इसके व्युत्क्रम फलन  पर स्थित है।
+यदि दो फलन के आलेख  दिए गए हैं, तो हम पहचान सकते हैं कि वे एक दूसरे के प्रतिलोम हैं या नहीं। यदि दोनों फलन  के आलेख  रेखा <math>y = x</math> के संबंध में सममित हैं, तो हम कहते हैं कि दोनों फलन  एक दूसरे के प्रतिलोम हैं। ऐसा इस तथ्य के कारण है कि यदि <math>(x, y)</math> फलन पर स्थित है, तो <math>(y, x)</math> इसके प्रतिलोम फलन  पर स्थित है।