सममित तथा विषम सममित आव्यूह

I सममित आव्यूह

सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{T}$ के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह $A,A=A^{T}$ की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों के बारे में जानें।

परिभाषा

रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त $B$ आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार $n\times n$ है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि $B^{T}=B$ है। दिए गए आव्यूह $B$ पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि $B=[b_{ij}]_{n\times n}$ सममित आव्यूह है, तो

$b_{ij}=b_{ji}$

सभी $i$ और $j$ के लिए या $1\leq i\leq n,$और $1\leq j\leq n,$। यहाँ,

• $n$ कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
• $b_{ij}$ स्थिति $(i,j)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $i$वीं पंक्ति और $j$वां स्तंभ है, और
• $b_{ji}$ स्थिति$(j,i)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $j$वीं पंक्ति और $i$वां स्तंभ है।

सममित आव्यूह उदाहरण

आइए आव्यूह $B$ का एक उदाहरण लेते हैं,

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, $B^{T}=B$। उदाहरण के लिए,$b_{12}=b_{21}=3,$और $b_{13}=b_{31}=6,$. इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

$B={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

$B^{T}={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण: $B={\begin{bmatrix}1&-2\\-2&0\end{bmatrix}}$

3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण : $B={\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&1&3\\-1&3&0\end{bmatrix}}$

4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण: $B=[\begin{array}{cccc}1& 2& -<!--\; -\; -->1& 5\\ \end{array}$