आव्यूह पर प्रारंभिक संक्रिया(आव्यूह रूपांतरण)

मैट्रिक्स किसी भी सिस्टम में डेटा के एक सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले संख्याओं, प्रतीकों या वर्णों की आयताकार व्यवस्था है। मैट्रिक्स के तत्वों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। मैट्रिक्स का क्रम MxN के रूप में इसकी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या का प्रतिनिधित्व है जहाँ m पंक्तियों की संख्या है और n स्तंभों की संख्या है। दो मैट्रिक्स को समान कहा जाता है यदि उनका क्रम समान हो और उनके तत्व समान हों। 'समान मैट्रिक्स' और 'समतुल्य मैट्रिक्स' शब्दों के बीच अंतर है। दो मैट्रिक्स की तुल्यता को '~' प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जाता है। दो मैट्रिक्स को समतुल्य कहा जाता है यदि एक मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन के माध्यम से दूसरे मैट्रिक्स को प्राप्त करने के लिए संशोधित किया जा सकता है।

मैट्रिक्स का प्राथमिक परिवर्तन क्या है? प्राथमिक परिवर्तन वे ऑपरेशन हैं जो मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों पर किए जाते हैं ताकि इसे एक अलग रूप में परिवर्तित किया जा सके ताकि गणना सरल हो जाए। ‘प्राथमिक परिवर्तन क्या है’ की अवधारणा का उपयोग रैखिक समीकरणों को हल करने की गॉसियन विधि में, मैट्रिक्स के सोपानक रूप को निर्धारित करने और समीकरणों की प्रणाली के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व से संबंधित अन्य कार्यों में किया जाता है। इसका उपयोग मैट्रिक्स के व्युत्क्रम, मैट्रिक्स के निर्धारकों को खोजने और रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने में भी किया जाता है। किसी भी दो मैट्रिक्स के बीच प्राथमिक परिवर्तन करने के लिए, दो मैट्रिक्स का क्रम समान होना चाहिए।

प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन

पंक्ति परिवर्तन केवल कुछ नियमों के आधार पर किए जाते हैं। कोई व्यक्ति नीचे बताए गए नियमों के अलावा किसी अन्य प्रकार का पंक्ति संचालन नहीं कर सकता है। प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन तीन प्रकार के होते हैं।

मैट्रिक्स के भीतर पंक्तियों को आपस में बदलना: इस ऑपरेशन में, मैट्रिक्स में पूरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से बदल दिया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से Ri ↔ Rj के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ i और j दो अलग-अलग पंक्ति संख्याएँ हैं।

पूरी पंक्ति को एक गैर शून्य संख्या के साथ स्केल करना: पूरी पंक्ति को उसी गैर शून्य संख्या से गुणा किया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से Ri → k Ri के रूप में दर्शाया जाता है जो दर्शाता है कि पंक्ति के प्रत्येक तत्व को एक कारक 'k' द्वारा स्केल किया गया है।

एक पंक्ति को दूसरी पंक्ति में एक गैर शून्य संख्या से गुणा करके जोड़ें: एक पंक्ति के प्रत्येक तत्व को दूसरी पंक्ति के स्केल किए गए तत्व में जोड़कर प्राप्त संख्या से बदल दिया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से Ri → Ri + k Rj के रूप में दर्शाया जाता है।

दो मैट्रिसेस को पंक्ति तुल्य तभी कहा जाता है जब एक मैट्रिसेस को दूसरे मैट्रिसेस से उपरोक्त प्राथमिक पंक्ति रूपांतरणों में से किसी एक को निष्पादित करके प्राप्त किया जा सकता है।

पंक्ति समतुल्य मैट्रिसेस के लिए उदाहरण

1. दर्शाइए कि मैट्रिसेस A और B पंक्ति समतुल्य हैं यदि

समाधान:

मैट्रिक्स A पर विचार करें। पंक्ति परिवर्तन इस प्रकार लागू करें कि R1 → R1 + R2

पहली पंक्ति पर पंक्ति परिवर्तन लागू करने पर, A11 = 1 + 2, A12 = -1 + 1 और A13 = 0 + 1

इसलिए मैट्रिक्स A बराबर होगा

अब हम पहली पंक्ति को बनाए रखते हैं और दूसरी पंक्ति पर पंक्ति परिवर्तन लागू करते हैं जैसे कि

R2 → 3 R2 - R1

इसलिए A में दूसरी पंक्ति के तत्व इस प्रकार दिए जाएँगे:

A21 = 2 x 3 - 3 = 3

A22 = 1 x 3 - 0 = 3

A23 = 1 x 3 - 1 = 2

So matrix A will be equal to

Retain R1 and apply row transformation to R2 such  that R2 → R2 - R1.

A21 = 3 - 3 = 0

A22 = 3 - 0 = 3

A23 = 2 - 1 = 1

So the matrix A will be equal to matrix B.

From this, we can conclude that A and B are row equivalent matrices.

प्राथमिक स्तंभ परिवर्तन

स्तंभ परिवर्तन करते समय कुछ नियमों का पालन भी किया जाना चाहिए। प्राथमिक स्तंभ परिवर्तन के तीन अलग-अलग रूप हैं। इन तीनों के अलावा किसी अन्य स्तंभ परिवर्तन की अनुमति नहीं है।

मैट्रिक्स के भीतर स्तंभों को आपस में बदलना: इस ऑपरेशन में, मैट्रिक्स में पूरे स्तंभ को दूसरे स्तंभ से बदल दिया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से Ci ↔ Cj के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ i और j दो अलग-अलग स्तंभ संख्याएँ हैं।

पूरे स्तंभ को शून्येतर संख्या से गुणा करना: पूरे स्तंभ को उसी शून्येतर संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से Ci → k Ci के रूप में दर्शाया जाता है जो दर्शाता है कि स्तंभ के प्रत्येक तत्व को स्केलिंग कारक ‘k’ से गुणा किया जाता है।

एक स्तंभ को शून्येतर संख्या से स्केल किए गए दूसरे स्तंभ में जोड़ें: एक स्तंभ के प्रत्येक तत्व को दूसरे स्तंभ के स्केल किए गए तत्व में जोड़कर प्राप्त संख्या से प्रतिस्थापित किया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से Ci → Ci + k Cj के रूप में दर्शाया जाता है।

दो मैट्रिसेस को स्तंभ समतुल्य तभी कहा जाता है जब एक मैट्रिक्स को दूसरे से उपरोक्त किसी भी प्राथमिक स्तंभ रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जा सके।