आव्यूह पर प्रारंभिक संक्रिया(आव्यूह रूपांतरण)

आव्यूह, एक आयताकार सरणी या एक तालिका है जहां संख्याओं या अवयवों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। उनमें किसी भी संख्या में स्तंभ और पंक्तियाँ हो सकती हैं। आव्यूहों पर अलग-अलग संक्रिया कि जा सकती हैं जैसे जोड़, अदिश गुणन, गुणन, स्थानान्तरण, आदि। आव्यूह, संख्याओं या फलनों की एक क्रमबद्ध आयताकार सरणी है। संख्याओं या फलनों को आव्यूह के अवयव या प्रविष्टियाँ कहा जाता है। हम आव्यूहों को बड़े अक्षरों से निरूपित करते हैं।

परिभाषा

आव्यूह किसी भी प्रणाली में आंकड़ों के एक समुच्चय का प्रतिनिधित्व करने वाले संख्याओं, प्रतीकों या वर्णों की आयताकार व्यवस्था है। आव्यूह के तत्वों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। आव्यूह का क्रम $M\times N$ के रूप में इसकी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या का प्रतिनिधित्व है जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ स्तंभों की संख्या है। दो आव्यूह को समान कहा जाता है यदि उनका क्रम समान हो और उनके तत्व समान हों। 'समान आव्यूह ' और 'समतुल्य आव्यूह ' शब्दों के बीच अंतर है। दो आव्यूह की तुल्यता को '$\sim$' प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जाता है। दो आव्यूह को समतुल्य कहा जाता है यदि एक आव्यूह को आव्यूह के प्रारंभिक रूपांतरण के माध्यम से दूसरे आव्यूह को प्राप्त करने के लिए संशोधित किया जा सकता है।

आव्यूह का प्रारंभिक रूपांतरण

प्रारंभिक रूपांतरण वे संक्रिया हैं जो आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों पर किए जाते हैं ताकि इसे एक अलग रूप में परिवर्तित किया जा सके ताकि गणना सरल हो जाए। ‘प्रारंभिक रूपांतरण क्या है’ की अवधारणा का उपयोग रैखिक समीकरणों को हल करने की गॉसियन विधि में, आव्यूह के सोपानक रूप को निर्धारित करने और समीकरणों की प्रणाली के आव्यूह प्रतिनिधित्व से संबंधित अन्य कार्यों में किया जाता है। इसका उपयोग आव्यूह के प्रतिलोम, आव्यूह के निर्धारकों को ज्ञात करने और रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने में भी किया जाता है। किसी भी दो आव्यूह के बीच प्रारंभिक रूपांतरण करने के लिए, दो आव्यूह का क्रम समान होना चाहिए।

प्रारंभिक पंक्ति रूपांतरण

पंक्ति रूपांतरण मात्र कुछ नियमों के आधार पर किए जाते हैं। कोई व्यक्ति नीचे बताए गए नियमों के अलावा किसी अन्य प्रकार का पंक्ति रूपांतरण नहीं कर सकता है। प्रारंभिक पंक्ति रूपांतरण तीन प्रकार के होते हैं।

आव्यूह के भीतर पंक्तियों को आपस में बदलना: इस संक्रिया में, आव्यूह में पूरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से बदल दिया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $i$ और $j$ दो अलग-अलग पंक्ति संख्याएँ हैं।

पूरी पंक्ति को एक गैर शून्य संख्या के साथ पर्पटित करना: पूरी पंक्ति को उसी गैर शून्य संख्या से गुणा किया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $R_{i}\rightarrow kR_{i}$के रूप में दर्शाया जाता है जो दर्शाता है कि पंक्ति के प्रत्येक तत्व को एक कारक '$k$' द्वारा पर्पटित(स्केल) किया गया है।

एक पंक्ति को दूसरी पंक्ति में एक गैर शून्य संख्या से गुणा करके जोड़ना : एक पंक्ति के प्रत्येक तत्व को दूसरी पंक्ति के पर्पटित किए गए तत्व में जोड़कर प्राप्त संख्या से बदल दिया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{i}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

दो आव्यूहों को पंक्ति तुल्य तभी कहा जाता है जब एक आव्यूह को दूसरे आव्यूह से उपरोक्त प्रारंभिक पंक्ति रूपांतरणों में से किसी एक को निष्पादित करके प्राप्त किया जा सकता है।

पंक्ति समतुल्य आव्यूहों के लिए उदाहरण

1. दर्शाइए कि आव्यूहों $A$ और $B$ पंक्ति समतुल्य हैं यदि

$A={\begin{bmatrix}1&-1&0\\2&1&1\end{bmatrix}}$ और $B={\begin{bmatrix}3&0&1\\0&3&1\end{bmatrix}}$समाधान:

आव्यूह $A$ पर विचार करें। पंक्ति रूपांतरण इस प्रकार लागू करें कि $R_{1}\rightarrow R_{1}+R_{2}$

पहली पंक्ति पर पंक्ति रूपांतरण लागू करने पर, $A_{11}=1+2,A_{12}=-1+1$और $A_{13}=0+1$

इसलिए आव्यूह $A$

${\begin{bmatrix}3&0&1\\2&1&1\end{bmatrix}}$ के बराबर होगा

अब हम पहली पंक्ति को बनाए रखते हैं और दूसरी पंक्ति पर पंक्ति रूपांतरण लागू करते हैं जैसे कि

$R_{2}\rightarrow 3R_{2}-R_{1}$

इसलिए $A$ में दूसरी पंक्ति के तत्व इस प्रकार दिए जाएँगे:

$A_{21}=2\times 3-3=3$

$A_{22}=1\times 3-0=3$

$A_{23}=1\times 3-1=2$

तो आव्यूह $A$

${\begin{bmatrix}3&0&1\\3&3&2\end{bmatrix}}$ के बराबर होगा

$R_{1}$ को बनाए रखें और $R_{2}$ पर पंक्ति परिवर्तन लागू करें ताकि $R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}$।

$A_{21}=3-3=0$

$A_{22}=3-0=3$

$A_{23}=2-1=1$

अतः आव्यूह $A$ आव्यूह $B$ के बराबर होगा।

${\begin{bmatrix}3&0&1\\0&3&1\end{bmatrix}}$

इससे, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $A$ और $B$ पंक्ति समतुल्य आव्यूह हैं।

प्रारंभिक स्तंभ रूपांतरण

स्तंभ रूपांतरण करते समय कुछ नियमों का पालन भी किया जाना चाहिए। प्रारंभिक स्तंभ रूपांतरण के तीन अलग-अलग रूप हैं। इन तीनों के अतिरिक्त किसी अन्य स्तंभ रूपांतरण की अनुमति नहीं है।

आव्यूह के भीतर स्तंभों को आपस में बदलना: इस संक्रिया में, आव्यूह में पूरे स्तंभ को दूसरे स्तंभ से बदल दिया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $C_{i}\leftrightarrow C_{j}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $i$ और $j$ दो अलग-अलग स्तंभ संख्याएँ हैं।

पूरे स्तंभ को शून्येतर संख्या से गुणा करना: पूरे स्तंभ को उसी शून्येतर संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $C_{i}\rightarrow kC_{i}$ के रूप में दर्शाया जाता है जो दर्शाता है कि स्तंभ के प्रत्येक तत्व को स्केलिंग कारक ‘$k$’ से गुणा किया जाता है।

एक स्तंभ को शून्येतर संख्या से स्केल किए गए दूसरे स्तंभ में जोड़ें: एक स्तंभ के प्रत्येक तत्व को दूसरे स्तंभ के स्केल किए गए तत्व में जोड़कर प्राप्त संख्या से प्रतिस्थापित किया जाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $C_{i}\rightarrow C_{i}+kC_{i}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

दो आव्यूहों को स्तंभ समतुल्य तभी कहा जाता है जब एक आव्यूह को दूसरे से उपरोक्त किसी भी प्रारंभिक स्तंभ रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जा सके।