समाकलन की विधियाँ: Difference between revisions

Revision as of 21:48, 4 December 2024

परिचय

समाकलन, एक संपूर्ण को ज्ञात करने के लिए भाग को एकजुट करने का एक उपाय है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फलन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार समाकलन अवकलन का प्रतिलोम है। समाकलन का उपयोग फलन के आलेख द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या को ज्ञात कर अनुमानित किया जाता है। निःशेषण(क्सहॉशन) की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में समाकलन के रूप में अपनाया गया।

हम समाकल के दो रूप प्राप्त करते हैं, अनिश्चित और निश्चित समाकल। अवकलन और समाकलन कलन में मौलिक उपकरण हैं जिनका उपयोग गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। समाकलन के सिद्धांत लाइबनिज द्वारा तैयार किए गए थे। आइए आगे बढ़ते हैं और समाकलन , इसके गुणों और इसकी कुछ शक्तिशाली तकनीकों के बारे में सीखते हैं।

समाकलन वक्र के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की प्रक्रिया है। यह क्षेत्र को आवरण करने वाले जितने भी छोटे आयत हों, उन्हें खींचकर और उनके क्षेत्रों को जोड़कर किया जाता है। योग एक सीमा के निकट पहुंचता है जो फलन के वक्र के नीचे के क्षेत्र के समान होता है। समाकलन फलन के प्रति अवकलज को ज्ञात करने की प्रक्रिया है। यदि कोई फलन समाकलनीय है और यदि प्रांत पर उसका समाकलन परिमित है, जिसकी सीमाएँ निर्दिष्ट हैं, तो यह निश्चित समाकलन है।

समाकलन के उपाय

कभी-कभी, कुछ फलन का इंटीग्रल ज्ञात करने के लिए निरीक्षण पर्याप्त नहीं होता है। इसके इंटीग्रल को ज्ञात करने के लिए मानक रूप में फलन को कम करने के लिए अतिरिक्त तरीके हैं। प्रमुख तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।

समाकलन के तरीके हैं:

अपघटित विधि
प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन
आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन
खंडशः समाकलन

विधि 1: अपघटित विधि द्वारा समाकलन

फलन को ऐसे फलन के योग या अंतर में अपघटित किया जा सकता है, जिनके व्यक्तिगत समाकलन ज्ञात हैं। दिया गया समाकलन बीजीय, त्रिकोणमितीय या घातांकीय या इन फलनों का संयोजन होगा।

मान लीजिए हमें $(x^{2}-x+1)/x^{3}dx$ को एकीकृत करने की आवश्यकता है, तो हम फलन को इस प्रकार अपघटित करते हैं:

$\int (x^{2}-x+1)/x^{3}dx=\int (x^{2}/x^{3}-x/x^{3}+1/x^{3})$

$=\int (1/x)dx-\int (1/x^{2})dx+\int (1/x^{3})dx$

व्युत्क्रम नियम और घात नियम लागू करने पर, हम प्राप्त होता हैं

$\int (x^{2}-x+1)/x^{3}dx=log|x|+1/x-1/2x^{2}+C$

विधि 2: प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि हमें समाकलन के चर को बदलने देती है ताकि समाकलन को आसान तरीके से एकीकृत किया जा सके। $mx=t$

मान लीजिए, हमें $y=\int f(x)dx$ ज्ञात करना है।

मान लीजिए $x=g(t)$ । फिर, ${dx \over dt}=g'(t)$

तो, $y=\int f(x)dx$ को $y=\int f(g(t))g'(t)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करके $f (x) =$

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-एकीकरण एक संपूर्ण को खोजने के लिए भाग को एकजुट करने का एक तरीका है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फ़ंक्शन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार एकीकरण विभेदन का व्युत्क्रम है। एकीकरण का उपयोग फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या का पता लगाकर अनुमानित किया जाता है। थकावट की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में एकीकरण के रूप में अपनाया गया। हम समाकल के दो रूप प्राप्त करते हैं, अनिश्चित और निश्चित समाकल। विभेदन और एकीकरण कलन में मौलिक उपकरण हैं जिनका उपयोग गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। एकीकरण के सिद्धांत लाइबनिज द्वारा तैयार किए गए थे। आइए आगे बढ़ते हैं और एकीकरण, इसके गुणों और इसकी कुछ शक्तिशाली तकनीकों के बारे में सीखते हैं।
-एकीकरण वक्र के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की प्रक्रिया है। यह क्षेत्र को कवर करने वाले जितने भी छोटे आयत हों, उन्हें खींचकर और उनके क्षेत्रों को जोड़कर किया जाता है। योग एक सीमा के करीब पहुंचता है जो फ़ंक्शन के वक्र के नीचे के क्षेत्र के बराबर होता है। एकीकरण फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज को खोजने की प्रक्रिया है। यदि कोई फ़ंक्शन समाकलनीय है और यदि डोमेन पर उसका समाकलन परिमित है, जिसकी सीमाएँ निर्दिष्ट हैं, तो यह निश्चित एकीकरण है।
+== परिचय ==
+समाकलन, एक संपूर्ण को ज्ञात करने  के लिए भाग को एकजुट करने का एक उपाय है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फलन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार समाकलन  अवकलन का प्रतिलोम है। समाकलन  का उपयोग फलन के आलेख द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या  को ज्ञात कर अनुमानित किया जाता है।  निःशेषण(क्सहॉशन) की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में समाकलन के रूप में अपनाया गया।
-एकीकरण के तरीके
+हम समाकल के दो रूप प्राप्त करते हैं, '''अनिश्चित''' और '''निश्चित''' समाकल। अवकलन और समाकलन कलन में मौलिक उपकरण हैं जिनका उपयोग गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। समाकलन  के सिद्धांत लाइबनिज द्वारा तैयार किए गए थे। आइए आगे बढ़ते हैं और समाकलन , इसके गुणों और इसकी कुछ शक्तिशाली तकनीकों के बारे में सीखते हैं।
-कभी-कभी, कुछ फ़ंक्शन का इंटीग्रल खोजने के लिए निरीक्षण पर्याप्त नहीं होता है। इसके इंटीग्रल को खोजने के लिए मानक रूप में फ़ंक्शन को कम करने के लिए अतिरिक्त तरीके हैं। प्रमुख तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।
+समाकलन वक्र के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की प्रक्रिया है। यह क्षेत्र को आवरण करने वाले जितने भी छोटे आयत हों, उन्हें खींचकर और उनके क्षेत्रों को जोड़कर किया जाता है। योग एक सीमा के निकट पहुंचता है जो फलन के वक्र के नीचे के क्षेत्र के समान होता है। समाकलन फलन के प्रति अवकलज को ज्ञात करने  की प्रक्रिया है। यदि कोई फलन समाकलनीय है और यदि प्रांत पर उसका समाकलन परिमित है, जिसकी सीमाएँ निर्दिष्ट हैं, तो यह निश्चित समाकलन  है।
-एकीकरण के तरीके हैं:
+== समाकलन के उपाय ==
+कभी-कभी, कुछ फलन का इंटीग्रल ज्ञात करने  के लिए निरीक्षण पर्याप्त नहीं होता है। इसके इंटीग्रल को ज्ञात करने  के लिए मानक रूप में फलन को कम करने के लिए अतिरिक्त तरीके हैं। प्रमुख तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।
-विघटन विधि
+समाकलन के तरीके हैं:
-प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण
+* अपघटित विधि
+* प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन
+* [[आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]
+* [[खंडशः समाकलन]]
-आंशिक अंशों का उपयोग करके एकीकरण
+=== विधि 1: अपघटित विधि द्वारा समाकलन  ===
+फलन को ऐसे फलन के योग या अंतर में अपघटित किया जा सकता है, जिनके व्यक्तिगत समाकलन ज्ञात हैं। दिया गया समाकलन बीजीय, [[त्रिकोणमितीय फलन|त्रिकोणमितीय]] या घातांकीय या इन फलनों का संयोजन होगा।
-भागों द्वारा एकीकरण
+मान लीजिए हमें <math>(x^2 -x +1)/x^3 dx</math>  को एकीकृत करने की आवश्यकता है, तो हम फलन को इस प्रकार अपघटित करते हैं:
-विधि 1: विघटन द्वारा एकीकरण
+<math>\int (x^2 -x +1)/x^3 dx = \int  (x^2 /x^3 - x /x^3 +1/x^3 )</math>
-फ़ंक्शन को ऐसे फ़ंक्शन के योग या अंतर में विघटित किया जा सकता है, जिनके व्यक्तिगत समाकलन ज्ञात हैं। दिया गया समाकलन बीजीय, त्रिकोणमितीय या घातांकीय या इन फ़ंक्शनों का संयोजन होगा।
+<math>= \int  (1/x)dx - \int  (1/x^2) dx + \int  (1/x^3)dx</math>
-मान लीजिए हमें (x2 -x +1)/x3 dx को एकीकृत करने की आवश्यकता है, तो हम फ़ंक्शन को इस प्रकार विघटित करते हैं:
+व्युत्क्रम नियम और घात नियम लागू करने पर, हम प्राप्त होता हैं
-∫ (x<sup>2</sup> -x +1)/x<sup>3</sup> dx = ∫ (x<sup>2</sup> /x<sup>3</sup> - x /x<sup>3</sup> +1/x<sup>3</sup> )
+<math>\int (x^2 -x +1)/x^3 dx = log|x| + 1/x - 1/2x^2 + C</math>
-= ∫ (1/x)dx - ∫ (1/x<sup>2</sup>) dx + ∫ (1/x<sup>3</sup>)dx
+=== विधि 2: प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन  ===
+प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन  विधि हमें समाकलन के चर को बदलने देती है ताकि समाकलन को आसान तरीके से एकीकृत किया जा सके।<math>mx = t</math>
-Applying the reciprocal rule and the power rule, we get
+मान लीजिए, हमें <math>y =\int  f(x) dx</math> ज्ञात करना है।
-∫ (x<sup>2</sup> -x +1)/x<sup>3</sup> dx = log|x| + 1/x - 1/2x<sup>2</sup> + C
+मान लीजिए <math>x=g(t)</math>। फिर, <math>{dx  \over dt }=g'(t)</math>
-विधि 2: प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण
+तो, <math>y= \int f(x) dx</math> को <math>y= \int  f(g(t)) g'(t)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।
-प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण विधि हमें एकीकरण के चर को बदलने देती है ताकि समाकलन को आसान तरीके से एकीकृत किया जा सके।
+उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करके <math>f(x) = sin(mx)</math> का समाकल ज्ञात करें।
-मान लीजिए, हमें y =∫ f(x) dx ज्ञात करना है।
+मान लीजिए  । फिर, <math>m{dx \over dt }=1</math>
-मान लीजिए x=g(t)। फिर,
+<math>y=\int sin \ mxdx
+</math>
-d
+<math>=\frac{1 }{m }\int sin \ tdt
+</math>
-x
+<math>=-\frac{1 }{m }cos \ t+C
+</math>
-d
+<math>=-\frac{1 }{m }cos \ mx+C</math>
-t
+<math>y=\int sin(mx)dx </math>  को <math> \int f(g(t)) g'(t)dt</math>  के रूप में लिखा जा सकता है
-=
+ध्यान दें: समाकलन के चर के प्रतिस्थापन में त्रिकोणमितीय पहचान का भी उपयोग किया जा सकता है। कुछ महत्वपूर्ण मानक परिणाम इस प्रकार हैं:
-g
+* <math>\int  tan x \ dx = log|secx| +C</math>
+* <math>\int cot x \ dx = log|sin x| +C</math>
-′
+* <math>\int cosec x \ dx = log|cosec\  x -cot\  x| +C</math>
+* <math>\int  sec x \ dx = log|sec\ x + tan \ x| +C</math>
-(
-t
-)
-.
-तो, y= ∫ f(x) dx को y= ∫ f(g(t)) g'(t) के रूप में लिखा जा सकता है।
-उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करके f(x) = sin(mx) का समाकल ज्ञात करें।
-मान लीजिए mx = t। फिर,
-m
-d
-x
-d
-t
-=
-.
-y=∫sinmxdx=1m∫sintdt=−1mcost+C=−1mcosmx+C
-y=∫ sin(mx)dx can be written as ∫ f(g(t)) g'(t)dt
-Note: The substitution for the variable of integration can also use trignonometric identities. A few important standard results are:
-* ∫ tan x dx = log|secx| +C
-* ∫ cot x dx = log|sin x| +C
-* ∫cosec x dx = log|cosec x -cot x| +C
-* ∫ sec x dx = log|secx + tan x| +C
-विधि 3: आंशिक भिन्नों का उपयोग करके एकीकरण
+=== विधि 3: आंशिक भिन्नों का उपयोग करके समाकलन  ===
 मान लीजिए हमें y=∫P(x)Q(x)dx ज्ञात करना है, जहाँ P(x)Q(x) एक अनुचित परिमेय फलन है। हम इसे इस तरह से घटाते हैं कि P(x)Q=T(x)+P1(x)Q(x)यहाँ, T(x) x में बहुपद है और P1(x)Q(x)उचित परिमेय फलन है। निम्न तालिका कुछ परिमेय फलनों और आंशिक भिन्नों के उनके संगत रूप को दर्शाती है।