कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन: Difference between revisions

Revision as of 14:39, 5 December 2024

समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।

कई महत्वपूर्ण समाकलन सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।

परिभाषा

समाकलन फलनों का प्रमाण

अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

फलन 1 का समाकलन

$\int dy/(y^{2}-a^{2})=1/2a\log \left\vert (y-a)/(y+a)\right\vert +C$

जैसा कि आप जानते हैं,

$1/(y^{2}-a^{2})=1/(y-a)(y+a)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a(y+a)-(y-a)/(y-a)(y+a)$

इसे और कम करते हुए,

$=1/2a\ 1/(y-a)-1/(y+a)$

अतः, $\int dy/(y^{2}-a^{2})=1/2a\int dy/(y-a)-\int dy/(y+a)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a\log \left\vert (y-a)-\log \right\vert (y+a)+C$

अत:,

$=1/2a\log \left\vert (y-a)/(y+a)\right\vert +C$

फलन 2 का समाकलन

$\int dy/(a^{2}-y^{2})=1/2a\log \left\vert (a+y)/(a-y)\right\vert +C$

जैसा कि आप जानते हैं,

$1/(a^{2}-y^{2})=1/(a-y)(a+y)$

इसका समाधान करते हुए,

$= 1 / 2 a (a + y) + (a - y) / (a - y) ($

@@ Line 80: / Line 80: @@
 === फलन 4 का समाकलन ===
-∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log |y + √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)| + C
+<math>\int dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \log \left\vert y + \sqrt{ (y^2 - a^2)} \right\vert + C</math>
-प्रतिस्थापित y = a sec t
+प्रतिस्थापित <math>y = a\  sec\  t</math>
-इसलिए, dy = a sec t tan t dt.
+इसलिए, <math>dy = a\  sec\  t\  tan\  t \ dt</math>
 इसलिए,
-∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ a sec t tan t dt / √ (a<sup>2</sup> sec<sup>2</sup> t – a<sup>2</sup>)
+<math>\int  dy / \sqrt{(y^2 -a^2)} = \int  a\  sec\  t\  tan \  t\  dt / \sqrt{(a^2 sec^2 t - a^2)}</math>
 इसका समाधान करते हुए,
-∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ sec t dt = log |sec t + tan t| + C<sub>1</sub>
+<math>\int  dy /  \sqrt{(y^2 - a^2)} = \int  sec\  t\  dt = \log \left\vert sec\  t + tan\  t \right\vert + C_1</math>
-t का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,
+<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,
-∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log |(y/a) + √ [(y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) / a<sup>2</sup>]| + C<sub>1</sub>
+<math>\int dy / \sqrt{(y^2 -a^2)} = \log \left\vert (y/a) + \sqrt{[(y^2 -a^2) / a^2]} \right\vert + C_1</math>
 इसका समाधान करते हुए,
-= log |y + √(y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)| – log |a| + C<sub>1</sub>
+<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2 - a^2)} \right\vert - \log \left\vert a \right\vert + C_1</math>
 अत:,
-= log |y + √(y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)| + C
+<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2-a^2)} \right\vert + C</math>
-जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log |a|
+जहाँ, <math>C = C_1 - \log \left\vert a \right\vert</math>
 === फलन 5 का समाकलन ===
@@ Line 123: / Line 123: @@
 ∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = ∫ t dt = t + C
-t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,
+<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,
 ∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C
@@ Line 142: / Line 142: @@
 ∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ sec t dt = log |sec t + tan t| + C<sub>1</sub>
-t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,
+<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,
 ∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log |(y/a) + √ [(y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) / a<sup>2</sup>]| + C<sub>1</sub>