दो सदिशों का गुणनफल: Difference between revisions

Revision as of 20:20, 14 December 2024

सदिशों का गुणनफल दो प्रकार का होता है। सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और इसके आधार पर सदिशों के दो गुणनफल होते हैं, दो सदिशों का डॉट गुणनफल और दो सदिशों का वज्र गुणनफल। दो सदिशों के डॉट गुणनफल को अदिश गुणनफल भी कहा जाता है, क्योंकि परिणामी मान एक अदिश राशि होती है। वज्र गुणनफल को सदिश गुणनफल कहा जाता है क्योंकि परिणाम एक सदिश होता है, जो इन दो सदिशों के लंबवत होता है।

आइए सदिशों के दो गुणनफल, फलन नियम, गुण, उपयोग, सदिशों के इन गुणनफलों के उदाहरणों के बारे में जानें।

परिभाषा

एक सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। हम दो या अधिक सदिशों को डॉट गुणनफल और वज्र गुणनफल से गुणा कर सकते हैं। आइए सदिशों के प्रत्येक गुणनफल के बारे में अधिक समझें।

डॉट गुणनफल

सदिशों के डॉट गुणनफल को सदिशों का अदिश गुणनफल भी कहा जाता है। सदिशों के डॉट गुणनफल का परिणाम एक अदिश मान होता है। सदिशों का डॉट गुणनफल दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल और दो सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर होता है। दो सदिशों के डॉट गुणनफल का परिणाम दो सदिशों के एक ही तल में होता है। डॉट गुणनफल एक सकारात्मक वास्तविक संख्या या एक नकारात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है।

मान लीजिए कि $a$ और $b$ दो शून्येतर सदिश हैं, और $\theta$ सदिशों का सम्मिलित कोण है। तब अदिश गुणनफल या डॉट गुणनफल को $a\cdot b$ द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|{\overrightarrow {a}}||{\overrightarrow {b}}|cos\theta$

यहाँ, $\left\vert {\overrightarrow {a}}\right\vert ,{\overrightarrow {a}}$ का परिमाण है, $\left\vert {\overrightarrow {b}}\right\vert ,{\overrightarrow {b}}$ का परिमाण है, तथा $\theta$ उनके बीच का कोण है।

वज्र गुणनफल

वज्र गुणनफल को सदिश गुणनफल भी कहा जाता है। वज्र गुणनफल सदिश गुणन का एक रूप है, जो अलग-अलग प्रकृति या प्रकार के दो सदिश के बीच किया जाता है। जब दो सदिश को एक दूसरे से गुणा किया जाता है और गुणनफल भी एक सदिश मात्रा होती है, तो परिणामी सदिश को दो सदिश का वज्र गुणनफल या सदिश गुणनफल कहा जाता है। परिणामी सदिश दो दिए गए सदिश वाले समतल के लंबवत होता है।

हम इसे एक उदाहरण से समझ सकते हैं कि यदि हमारे पास $X-Y$ समतल में स्थित दो सदिश हैं, तो उनका वज्र गुणनफल $Z$ -अक्ष की दिशा में एक परिणामी सदिश देगा, जो $XY$ समतल के लंबवत है। मूल सदिशों के बीच $\times$ चिह्न का उपयोग किया जाता है। दो सदिशों का सदिश गुणनफल या वज्र गुणनफल इस प्रकार दिखाया जाता है:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {c}}$

यहाँ ${\overrightarrow {a}}$ और ${\overrightarrow {b}}$ दो सदिश हैं, और ${\overrightarrow {c}}$ परिणामी सदिश है। मान लें कि $\theta$ , ${\overrightarrow {a}}$ और ${\overrightarrow {b}}$ के बीच बना कोण है और ${\overset {\frown }{n}},$ ${\overrightarrow {a}}$ और ${\overrightarrow {b}}$ दोनों को समाहित करने वाले समतल पर लंबवत इकाई सदिश है। दो सदिशों का वज्र गुणनफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=|a||b|sin(\theta ){\overset {\frown }{n}}$

सदिशों के गुणनफल के लिए फलन नियम

दो सदिशों के गुणनफल, डॉट गुणनफल और वज्र गुणनफल के लिए फलन नियम को नीचे दिए गए वाक्यों से समझा जा सकता है।

डॉट गुणनफल

दो सदिशों के डॉट गुणनफल के लिए, दो सदिशों को $x,y,z$ अक्षों के साथ इकाई सदिशों, $i,j,k$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर अदिश गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त होता है:

यदि ${\overrightarrow {a}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}}$ और ${\overrightarrow {b}}=a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}}$ तब

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=(a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}})(a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}})$

$= (a_{1} a_{2}) (\overset{⌢}{i} . \overset{⌢}{i}) + (a_{1} b_{2}) (\overset{⌢}{i} . \overset{⌢}{j}) + (a_{1}$

@@ Line 67: / Line 67: @@
-* →i×→j=→k;→j×→k=→i;→k×→i=→j
+* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}</math>
-* →j×→i=−→−k;→k×→j=−→−i;→i×→k=−→−j
+* <math>\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{-k};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{-i};\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{-j}</math>
 सदिशों के गुणनफल के गुण सदिश गुणन की विस्तृत समझ प्राप्त करने और सदिशों से संबंधित अनेक गणनाएं करने में सहायक होते हैं। सदिशों के गुणनफल के कुछ महत्वपूर्ण गुण यहां सूचीबद्ध हैं।
@@ Line 85: / Line 85: @@
 ==  ट्रिपल वज्र गुणनफल ==
-किसी सदिश का अन्य दो सदिश के वज्र गुणनफल  के साथ वज्र गुणनफल  सदिश का ट्रिपल वज्र गुणनफल  है। ट्रिपल वज्र गुणनफल  का परिणाम एक सदिश है। ट्रिपल वज्र सदिश का परिणाम दिए गए तीन सदिश के तल में स्थित है। यदि a, b, और c सदिश हैं, तो इन सदिश का सदिश ट्रिपल गुणनफल  इस रूप का होगा:
+किसी सदिश का अन्य दो सदिश के वज्र गुणनफल  के साथ वज्र गुणनफल  सदिश का ट्रिपल वज्र गुणनफल  है। ट्रिपल वज्र गुणनफल  का परिणाम एक सदिश है। ट्रिपल वज्र सदिश का परिणाम दिए गए तीन सदिश के तल में स्थित है। यदि <math>a, b,</math>और <math>c</math> सदिश हैं, तो इन सदिश का सदिश ट्रिपल गुणनफल  इस रूप का होगा:
-(→a×→b)×→c=(→a⋅→c)→b−(→b⋅→c)→a
+<math>(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}</math>
 == उदाहरण ==
-'''उदाहरण:''' दो सदिशों →a = (3,4,5) and →b = (7,8,9)   का क्रॉस गुणनफल ज्ञात कीजिए
+'''उदाहरण:''' दो सदिशों <math>\overrightarrow{a}=(3,4,5)</math> और <math>\overrightarrow{b}=(7,8,9)</math>  का वज्र गुणनफल ज्ञात कीजिए
-'''समाधान''': क्रॉस गुणनफल इस प्रकार दिया गया है,
+'''समाधान''': वज्र गुणनफल इस प्रकार दिया गया है,
-a×b=^i^j^k345789
+<math>\overrightarrow{a}=(3,4,5)</math> <math>\times</math> <math>\overrightarrow{b}=(7,8,9)</math>
-= [(4×9)−(5×8)] ^i −[(3×9)−(5×7)]^j+[(3×8)−(4×7)] ^k
+<math>a \times b= \begin{matrix} \overset{\frown}{i} & \overset{\frown}{j} & \overset{\frown}{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 8  & 9 \end{matrix}</math>
-= (36−40)^i −(27−35)^j +(24−28) ^k
+<math>= [(4\times 9)-(5\times 8)] \overset{\frown}{i} -[(3\times 9)-(5\times 7)]\overset{\frown}{j}+[(3\times 8)-(4\times 7)] \overset{\frown}{k}</math>
-= −4^i + 8^j −4^k
+<math>= (36-40)\overset{\frown}{i} -(27-35)\overset{\frown}{\overset{\frown}{j}} +(24-28) \overset{\frown}{k}</math>
-'''उत्तर''': अतः,  →a×→b = −4^i + 8^j −4^k
+<math>= -4\overset{\frown}{i} + 8\overset{\frown}{j} -4\overset{\frown}{k}</math>
+'''उत्तर''': अतः,  <math>a \times b=-4\overset{\frown}{i}+8\overset{\frown}{j}-4\overset{\frown}{k}</math>
 [[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]