रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण: Difference between revisions

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रैखिक प्रोग्रामन एक ऐसी प्रक्रिया है जिसका उपयोग रैखिक फलन के सर्वोत्तम परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह कुछ सरल धारणाएँ बनाकर रैखिक अनुकूलन करने का सबसे अच्छा उपाय है। रैखिक फलन को उद्देश्य फलन के रूप में जाना जाता है। वास्तविक दुनिया के संबंध बेहद जटिल हो सकते हैं। हालाँकि, रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग ऐसे संबंधों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जिससे उनका विश्लेषण करना आसान हो जाता है।

रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग ऊर्जा, दूरसंचार, परिवहन और विनिर्माण जैसे कई उद्योगों में किया जाता है। यह लेख रैखिक प्रोग्रामन के विभिन्न पहलुओं जैसे परिभाषा, सूत्र, और इस तकनीक का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के तरीके पर प्रकाश डालता है।

परिचय

रैखिक प्रोग्रामन, जिसे एलपी(LP) के रूप में भी संक्षिप्त किया जाता है, एक सरल विधि है जिसका उपयोग रैखिक फलन का उपयोग करके जटिल वास्तविक दुनिया के संबंधों को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त गणितीय प्रतिरूप में तत्वों का एक दूसरे के साथ रैखिक संबंध होता है। रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग रैखिक अनुकूलन करने के लिए किया जाता है ताकि सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके।

परिभाषा

रैखिक प्रोग्रामन को एक ऐसी तकनीक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका उपयोग किसी रैखिक फलन को अनुकूलित करने के लिए किया जाता है ताकि सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके। इस रैखिक फलन या उद्देश्य फलन में रैखिक समानता और असमानता बाधाएँ उपस्थित हैं। हम उद्देश्य फलन को न्यूनतम या अधिकतम करके सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण

मान लीजिए कि एक डाकिया को डाकघर ( $A$ पर स्थित) से एक दिन में 6 पत्र अलग-अलग घरों $(U,V,W,Y,Z)$ तक पहुँचाने हैं। घरों के बीच की दूरी चित्र में दी गई रेखाओं पर दर्शाई गई है। यदि डाकिया सबसे छोटा रास्ता ढूँढना चाहता है जिससे वह पत्र पहुँचाने के साथ-साथ ईंधन की बचत भी कर सके तो यह एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या बन जाती है। इस प्रकार, LP का उपयोग इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाएगा जो इस उदाहरण में सबसे छोटा रास्ता होगा।

रैखिक प्रोग्रामन के सूत्र

एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या में निर्णय चर, एक उद्देश्य फलन , बाधाएँ और गैर-नकारात्मक प्रतिबंध उपस्थित होंगे। निर्णय चर, $x$ और $y$ , LP समस्या के आउटपुट को तय करते हैं और अंतिम समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं। उद्देश्य फलन , $Z$ , रैखिक फलन है जिसे समाधान प्राप्त करने के लिए अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) किया जाना चाहिए। बाधाएँ वे प्रतिबंध हैं जो निर्णय चर पर उनके मूल्य को सीमित करने के लिए लगाए जाते हैं। निर्णय चर का हमेशा एक गैर-नकारात्मक मान होना चाहिए जो गैर-नकारात्मक प्रतिबंधों द्वारा दिया जाता है। एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सामान्य सूत्र नीचे दिया गया है:

उद्देश्य फलन : $Z=ax+by$

प्रतिबंध: $cx+dy\leq e,fx+gy\leq h$ असमानताएँ " $\geq$ " भी हो सकती हैं

गैर-नकारात्मक प्रतिबंध: $x\geq 0,y\geq 0$

रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग

रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में किया जाता है। इसका उपयोग वास्तविक दुनिया के रिश्तों को दर्शाने के लिए गणितीय प्रतिरूप बनाने के आधार के रूप में किया जाता है। रैखिक प्रोग्रामन के कुछ अनुप्रयोग नीचे सूचीबद्ध हैं:

उत्पादन की योजना बनाने और शेड्यूल करने के लिए विनिर्माण कंपनियाँ रैखिक प्रोग्रामन का व्यापक उपयोग करती हैं।
डिलीवरी सेवाएँ समय और ईंधन की खपत को कम करने के लिए सबसे छोटा रास्ता तय करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग करती हैं।
वित्तीय संस्थान ग्राहकों को प्रस्तुत किए जा सकने वाले वित्तीय उत्पादों के पोर्टफोलियो को निर्धारित करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग करते हैं।

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-रैखिक प्रोग्रामिंग एक ऐसी प्रक्रिया है जिसका उपयोग रैखिक फ़ंक्शन के सर्वोत्तम परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह कुछ सरल धारणाएँ बनाकर रैखिक अनुकूलन करने का सबसे अच्छा तरीका है। रैखिक फ़ंक्शन को उद्देश्य फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। वास्तविक दुनिया के संबंध बेहद जटिल हो सकते हैं। हालाँकि, रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग ऐसे संबंधों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जिससे उनका विश्लेषण करना आसान हो जाता है।
+रैखिक प्रोग्रामन एक ऐसी प्रक्रिया है जिसका उपयोग रैखिक फलन के सर्वोत्तम परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह कुछ सरल धारणाएँ बनाकर रैखिक अनुकूलन करने का सबसे अच्छा उपाय है। रैखिक फलन को उद्देश्य फलन के रूप में जाना जाता है। वास्तविक दुनिया के संबंध बेहद जटिल हो सकते हैं। हालाँकि, रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग ऐसे संबंधों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जिससे उनका विश्लेषण करना आसान हो जाता है।
-रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग ऊर्जा, दूरसंचार, परिवहन और विनिर्माण जैसे कई उद्योगों में किया जाता है। यह लेख रैखिक प्रोग्रामिंग के विभिन्न पहलुओं जैसे परिभाषा, सूत्र, इस तकनीक का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के तरीके और संबंधित रैखिक प्रोग्रामिंग उदाहरणों पर प्रकाश डालता है।
+रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग ऊर्जा, दूरसंचार, परिवहन और विनिर्माण जैसे कई उद्योगों में किया जाता है। यह लेख रैखिक प्रोग्रामन के विभिन्न पहलुओं जैसे परिभाषा, सूत्र, और  इस तकनीक का [[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार|उपयोग करके समस्याओं]] को हल करने के तरीके पर प्रकाश डालता है।
 == परिचय ==
-रैखिक प्रोग्रामिंग, जिसे एलपी के रूप में भी संक्षिप्त किया जाता है, एक सरल विधि है जिसका उपयोग रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करके जटिल वास्तविक दुनिया के संबंधों को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त गणितीय मॉडल में तत्वों का एक दूसरे के साथ रैखिक संबंध होता है। रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग रैखिक अनुकूलन करने के लिए किया जाता है ताकि सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके।
+रैखिक प्रोग्रामन, जिसे एलपी(LP) के रूप में भी संक्षिप्त किया जाता है, एक सरल विधि है जिसका उपयोग रैखिक [[फलनों के प्रकार|फलन]] का उपयोग करके जटिल वास्तविक दुनिया के संबंधों को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त गणितीय प्रतिरूप में तत्वों का एक दूसरे के साथ रैखिक संबंध होता है। रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग रैखिक अनुकूलन करने के लिए किया जाता है ताकि सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके।
-== रैखिक प्रोग्रामिंग परिभाषा ==
+== परिभाषा ==
-रैखिक प्रोग्रामिंग को एक ऐसी तकनीक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका उपयोग किसी रैखिक फ़ंक्शन को अनुकूलित करने के लिए किया जाता है ताकि सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके। इस रैखिक फ़ंक्शन या उद्देश्य फ़ंक्शन में रैखिक समानता और असमानता बाधाएँ शामिल हैं। हम उद्देश्य फ़ंक्शन को न्यूनतम या अधिकतम करके सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करते हैं।
+रैखिक प्रोग्रामन को एक ऐसी तकनीक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका उपयोग किसी रैखिक फलन को अनुकूलित करने के लिए किया जाता है ताकि सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके। इस रैखिक फलन या उद्देश्य फलन में रैखिक समानता और असमानता बाधाएँ उपस्थित हैं। हम उद्देश्य फलन को न्यूनतम या अधिकतम करके सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करते हैं।
 == उदाहरण ==
-मान लीजिए कि एक डाकिया को डाकघर (A पर स्थित) से एक दिन में 6 पत्र अलग-अलग घरों (U, V, W, Y, Z) तक पहुँचाने हैं। घरों के बीच की दूरी चित्र में दी गई रेखाओं पर दर्शाई गई है। यदि डाकिया सबसे छोटा रास्ता ढूँढना चाहता है जिससे वह पत्र पहुँचाने के साथ-साथ ईंधन की बचत भी कर सके तो यह एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या बन जाती है। इस प्रकार, LP का उपयोग इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाएगा जो इस उदाहरण में सबसे छोटा रास्ता होगा।
+मान लीजिए कि एक डाकिया को डाकघर (<math>A</math> पर स्थित) से एक दिन में 6 पत्र अलग-अलग घरों <math>(U, V, W, Y, Z)</math> तक पहुँचाने हैं। घरों के बीच की दूरी चित्र में दी गई रेखाओं पर दर्शाई गई है। यदि डाकिया सबसे छोटा रास्ता ढूँढना चाहता है जिससे वह पत्र पहुँचाने के साथ-साथ ईंधन की बचत भी कर सके तो यह एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या बन जाती है। इस प्रकार, LP का उपयोग इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाएगा जो इस उदाहरण में सबसे छोटा रास्ता होगा।
-== सूत्र ==
+== रैखिक प्रोग्रामन के सूत्र ==
-एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में निर्णय चर, एक उद्देश्य फ़ंक्शन, बाधाएँ और गैर-नकारात्मक प्रतिबंध शामिल होंगे। निर्णय चर, x और y, LP समस्या के आउटपुट को तय करते हैं और अंतिम समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं। उद्देश्य फ़ंक्शन, Z, रैखिक फ़ंक्शन है जिसे समाधान प्राप्त करने के लिए अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) किया जाना चाहिए। बाधाएँ वे प्रतिबंध हैं जो निर्णय चर पर उनके मूल्य को सीमित करने के लिए लगाए जाते हैं। निर्णय चर का हमेशा एक गैर-नकारात्मक मान होना चाहिए जो गैर-नकारात्मक प्रतिबंधों द्वारा दिया जाता है। एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सामान्य सूत्र नीचे दिया गया है:
+एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या में निर्णय चर, एक उद्देश्य फलन , बाधाएँ और गैर-नकारात्मक प्रतिबंध उपस्थित होंगे। निर्णय चर, <math>x</math> और <math>y</math>, LP समस्या के आउटपुट को तय करते हैं और अंतिम समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं। उद्देश्य फलन , <math>Z</math>, रैखिक फलन है जिसे समाधान प्राप्त करने के लिए अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) किया जाना चाहिए। बाधाएँ वे प्रतिबंध हैं जो निर्णय चर पर उनके मूल्य को सीमित करने के लिए लगाए जाते हैं। निर्णय चर का हमेशा एक गैर-नकारात्मक मान होना चाहिए जो गैर-नकारात्मक प्रतिबंधों द्वारा दिया जाता है। एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सामान्य सूत्र नीचे दिया गया है:
-'''Objective Function:''' Z = ax + by
+'''उद्देश्य फलन :''' <math>Z = ax + by</math>
-'''Constraints:''' cx + dy ≤ e, fx + gy ≤ h. The inequalities can also be "≥"
+'''प्रतिबंध:''' <math>cx + dy \leq e, fx + gy \leq h </math> असमानताएँ  " <math>\geq</math>" भी हो सकती हैं
-'''Non-negative restrictions:''' x ≥ 0, y ≥ 0
+'''गैर-नकारात्मक प्रतिबंध:''' <math>x \geq 0, y \geq 0</math>
-== रैखिक प्रोग्रामिंग के अनुप्रयोग ==
+== रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग ==
-रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में किया जाता है। इसका उपयोग वास्तविक दुनिया के रिश्तों को दर्शाने के लिए गणितीय मॉडल बनाने के आधार के रूप में किया जाता है। एलपी के कुछ अनुप्रयोग नीचे सूचीबद्ध हैं:
+रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में किया जाता है। इसका उपयोग वास्तविक दुनिया के रिश्तों को दर्शाने के लिए गणितीय प्रतिरूप बनाने के आधार के रूप में किया जाता है। रैखिक प्रोग्रामन के कुछ अनुप्रयोग नीचे सूचीबद्ध हैं:
-* उत्पादन की योजना बनाने और शेड्यूल करने के लिए विनिर्माण कंपनियाँ रैखिक प्रोग्रामिंग का व्यापक उपयोग करती हैं।
+* उत्पादन की योजना बनाने और शेड्यूल करने के लिए विनिर्माण कंपनियाँ रैखिक प्रोग्रामन का व्यापक उपयोग करती हैं।
-* डिलीवरी सेवाएँ समय और ईंधन की खपत को कम करने के लिए सबसे छोटा रास्ता तय करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करती हैं।
+* डिलीवरी सेवाएँ समय और ईंधन की खपत को कम करने के लिए सबसे छोटा रास्ता तय करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग करती हैं।
-* वित्तीय संस्थान ग्राहकों को पेश किए जा सकने वाले वित्तीय उत्पादों के पोर्टफोलियो को निर्धारित करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करते हैं।
+* वित्तीय संस्थान ग्राहकों को प्रस्तुत किए जा सकने वाले वित्तीय उत्पादों के पोर्टफोलियो को निर्धारित करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग करते हैं।
 [[Category:रैखिक प्रोग्रामन]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-12]]