सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित

इस अनुभाग में, हम सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित वर्णन करेंगे।

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग

मान लीजिए कि $z_{1}=a+ib$ और $z_{2}=c+id$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। फिर योग $z_{1}+z_{2}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$ जो कि एक सम्मिश्र संख्या भी है।

उदाहरण: मान लीजिए $z_{1}=2+i3$ और $z_{2}=-6+i5$। अत: $z_{1}+z_{2}=(2-6)+i(3+5)=-4+i8$

सम्मिश्र संख्याओं का योग निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

संवरक नियम

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग एक सम्मिश्र संख्या होती है। $z_{1}+z_{2}$ सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए एक सम्मिश्र संख्या है।

क्रम विनिमय नियम

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, $z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$

साहचर्य नियम

किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_{1},z_{2},z_{3}$ , $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$

योगात्मक तत्समक का अस्तित्व

सम्मिश्र संख्या $0+i0$ ($0$ के रूप में चिह्नित) मौजूद है, जिसे योगात्मक तत्समक या शून्य सम्मिश्र संख्या कहा जाता है, जैसे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए $z+0=z$

योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व

प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z=a+ib$ के लिए, हमारे पास सम्मिश्र संख्या $-z=-a+i(-b)$ होती है जिसे $z$ का योगात्मक प्रतिलोम या ऋणात्मक कहा जाता है। हम देखते हैं कि $z+(-z)=0$ (योगात्मक तत्समक)।

दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1},z_{2}$ को देखते हुए अंतर $z_{1}-z_{2}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$z_{1}-z_{2}=z_{1}+(-z_{2})$

उदाहरण: $(6+3i)-(2-i)=(6+3i)+(-2+i)=4+4i$

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

मान लीजिए कि $z_{1}=a+ib$ और $z_{2}=c+id$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब गुणनफल $z_{1}z_{2}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$z_{1}z_{2}=(a+ib)\times (c+id)$

$z_{1}z_{2}=a\times (c+id)+ib\times (c+id)$

$z_{1}z_{2}=ac+iad+ibc+i^{2}bd$

$z_{1}z_{2}=ac+i(ad+bc)+-1\times bd.......(i^{2}=-1)$

$z_{1}z_{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)$

सम्मिश्र संख्याओं का गुणन निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

संवरक नियम

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल एक सम्मिश्र संख्या होती है। $z_{1}z_{2}$ सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए एक सम्मिश्र संख्या है।

क्रम विनिमय नियम

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए $z_{1}$ और $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$

साहचर्य नियम

किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं के लिए $z_{1},z_{2},z_{3}$, $(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$

गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व

वहाँ सम्मिश्र संख्या $1+i0$ ($1$ के रूप में चिह्नित) मौजूद है जिसे गुणात्मक तत्समक कहा जाता है, जैसे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $z\times 1=z$

गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व

प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या $z=a+ib$ $(a\neq 0,b\neq 0)$, के लिए हमारे पास सम्मिश्र संख्या ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}$ (${\frac {1}{z}}$ या $z^{-1}$के रूप में चिह्नित) $z$ का गुणनात्मक प्रतिलोम इस प्रकार कहा जाता है कि $z\times {\frac {1}{z}}=1$ (गुणात्मक तत्समक)।

वितरण नियम

किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं के लिए $z_{1},z_{2},z_{3}$

• $z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$
• $(z_{1}+z_{2})z_{3}=z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}$

दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1},z_{2}$ को देखते हुए, जहां $z_{2}\neq 0$, भागफल ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$ को परिभाषित किया गया है।

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=z_{1}\times {\frac {1}{z_{2}}}$

उदाहरण: मान लीजिए $z_{1}=6+3i$ और $z_{2}=2-i$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=(6+3i)\times {\frac {1}{2-i}}$

हम जानते हैं

$z=a+ib$ के लिए ${\frac {1}{z}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}$

अतः $z=2-i$ के लिए , $a=2;b=-1$

${\frac {1}{2-i}}={\frac {2}{2^{2}+(-1)^{2}}}+i{\frac {-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}}$

${\frac {1}{2-i}}={\frac {2}{4+1}}+i{\frac {1}{4+1}}={\frac {2}{5}}+i{\frac {1}{5}}={\frac {2+i}{5}}$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=(6+3i)\times {\frac {2+i}{5}}={\frac {1}{5}}(12+6i+6i+3i^{2})={\frac {1}{5}}(12+12i+3(-1))={\frac {1}{5}}(9+12i)$

i के घात

हम जानते हैं $i^{2}=-1$

$i^{3}=i^{2}\times i=-1\times i=-i$

$i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$

$i^{5}=(i^{2})^{2}\times i=(-1)^{2}\times i=1\times i=i$

$i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1$