बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जो $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_{1}x^{1}+a_{0}$ के रूप में होता है।

जहाँ $a_{n},a_{n-1},a_{1},a_{0}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ $a_{n}\neq 0$। साथ ही, हमने बहुपद से संबंधित पदों के बारे में भी सीखा है, जैसे गुणांक, पद, बहुपद की घात, बहुपद के शून्यक इत्यादि।

रैखिक बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

रैखिक बहुपद $ax+b$ के रूप में होता है, जहाँ $a\neq 0$ होता है। रैखिक समीकरण का आलेख(ग्राफ), मान लीजिए $y=ax+b$ एक सीधी रेखा है। मान लीजिए कि आलेख $y=2x+3$ एक बहुपद है। इसका मतलब है कि $y=2x+3$ एक सीधी रेखा है जो बिंदुओं $(-2,-1)$ और $(2,7)$ से होकर गुजरती है। यहाँ $x$ के कुछ मान लेकर, निर्देशांक हैं $(x,y)$।

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=2x+3$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

रैखिक समीकरण $y=2x+3$ का आलेख नीचे दिया गया है:

आलेख से, हम देख सकते हैं कि आलेख $y=2x+3$, x-अक्ष को $x=-1$ और $x=-2$ के बीच प्रतिच्छेद करता है। इसका अर्थ है कि सीधी रेखा x-अक्ष को बिंदु $(-{\frac {3}{2}},0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।

अत: $-{\frac {3}{2}}$ बहुपद $y=2x+3$ का शून्यक है

साधरणतः, हम कह सकते हैं कि एक रैखिक बहुपद $y=ax+b$, जहां $a\neq 0$, में बिल्कुल एक शून्य होता है। रैखिक बहुपद का शून्य उस बिंदु का x-निर्देशांक है जहां $y=ax+b$ का आलेख x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है।

द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ:

हम जानते हैं कि द्विघात बहुपद का मानक रूप ax²+bx+c है, जहां a≠0। आइए अब हम एक उदाहरण की सहायता से द्विघात बहुपदों के शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ को समझते हैं।

द्विघात समीकरण $y=x^{2}-3x-4$ पर विचार कीजिए

दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, यहाँ $x$ के कुछ मान लेकर निर्देशांक $(x,y)$ दिए गए हैं।

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y=x^{2}-3x-4$	$6$	$0$	$-4$	$-6$	$-6$	$-4$	$0$	$6$

अत:, $(-2,6),(-1,0),(0,-4),(1,-6),(2,-6),(3,-4),(4,0)(5,6)$ बनने वाले निर्देशांक हैं

अब, नीचे दिखाए गए अनुसार बिंदुओं का आलेख बनाएं:

साधारणतः, द्विघात समीकरण का आलेख , $y=ax^{2}+bx+c$, जहाँ $a\neq 0$ .इसमें दो प्रकार के वक्र होते हैं जैसे परवलयिक वक्र ऊपर की ओर खुलता है या परवलयिक वक्र नीचे की ओर खुलता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि $a>0$ या $a<0$

आलेख से, हम देख सकते हैं कि बहुपद के दो शून्यक $y=x^{2}-3x-4$, $-1$ और $4$ हैं।

शून्य $-1$ और $4$ उस बिंदु के x-निर्देशांक हैं जहां आलेख , $y=x^{2}-3x-4$, x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है।

चूँकि द्विघात समीकरण में अधिकतम दो शून्य होते हैं, इसलिए तीन अलग-अलग स्थितियाँ उपस्थित होती हैं। वे:

स्थिति 1: आलेख x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं, मान लीजिए $A$ और $A^{'}$ पर प्रतिच्छेद करता है।

इस स्थिति में, द्विघात बहुपद में दो शून्य होते हैं।

उदाहरण:

File:Quadratic Polynomial with 2 zeroes.jpg

स्थिति 2: मान लीजिए $A$, आलेख x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

इस स्थिति में, केवल एक शून्य उपस्थित है।

उदाहरण :

File:Quadratic Polynomial with 1 zero.jpg

स्थिति 3: आलेख किसी भी बिंदु पर x-अक्ष को नहीं प्रतिच्छेद करता है।

इस स्थिति में, दिए गए द्विघात बहुपद का वक्र पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या नीचे है। तो, इस स्थिति में द्विघात बहुपद का कोई शून्य नहीं है।

उदाहरण:

File:Quadratic Polynomial with no zero.jpg