लीलावती में 'समांतर श्रेढ़ी': Difference between revisions

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==भूमिका==
एक '''समांतर श्रेढ़ी''' या '''अंकगणितीय अनुक्रम''' (AP) संख्याओं का एक अनुक्रम है, जैसे कि किसी भी सफल पद से उसके पूर्ववर्ती पद का अंतर पूरे अनुक्रम में स्थिर रहता है। यह निरंतर अंतर उस समांतर श्रेणी का सामान्य अंतर कहलाता है। उदाहरण के लिए,अनुक्रम 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . सामान्य अंतर  '2' के साथ एक समांतर श्रेढ़ी  है।<ref>(समांतर श्रेढ़ी)"[[wikipedia:Arithmetic_progression|Arithmetic Progression]]"</ref>
एक समांतर श्रेढ़ी या अंकगणितीय अनुक्रम (AP) संख्याओं का एक क्रम है, जैसे कि किसी भी सफल पद से उसके पूर्ववर्ती पद का अंतर पूरे अनुक्रम में स्थिर रहता है। निरंतर अंतर उस समांतर श्रेणी का सामान्य अंतर कहलाता है। उदाहरण के लिए, क्रम 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . सामान्य अंतर  '2' के साथ समांतर श्रेढ़ी  है।<ref>(समांतर श्रेढ़ी)"[[:en:Arithmetic_progression|Arithmetic Progression]]"</ref>
==श्लोक 123==
==श्लोक सं॰ 123==
''सैकपदघ्नपदार्धमथैकाद्यङ्कयुतिः किल सङ्कलिताख्या'' ।
''सैकपदघ्नपदार्धमथैकाद्यङ्कयुतिः किल सङ्कलिताख्या'' ।


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<math>1+(1+2)+...+(1+2+...+9) = \frac{9 \ X  \ (9+1)\ X \ (9+2)}{6} = \frac{9 \ X \ 10 \ X \ 11}{6} =  165</math>
<math>1+(1+2)+...+(1+2+...+9) = \frac{9 \ X  \ (9+1)\ X \ (9+2)}{6} = \frac{9 \ X \ 10 \ X \ 11}{6} =  165</math>
==श्लोक सं॰ 125==
==श्लोक 125==
''द्विघ्नपदं कुयुतं त्रिविभक्तं सङ्कलितेन हतं कृतियोगः'' ।
''द्विघ्नपदं कुयुतं त्रिविभक्तं सङ्कलितेन हतं कृतियोगः'' ।


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''दातुं सखे पंचचयेन पक्षे द्रम्मा वद द्राक्कति तेन दत्ताः'' ॥
''दातुं सखे पंचचयेन पक्षे द्रम्मा वद द्राक्कति तेन दत्ताः'' ॥


एक सज्जन ने पहले दिन 4 D ([[लीलावती में 'तौल और माप'|द्रम]]) दान में (ब्राह्मण को) दिए। पंद्रह दिनों तक उन्होंने अपनी दानशीलता जारी रखी, हर रोज अपने योगदान को पिछले दिन की तुलना में 5D बढ़ा दिया। कुल दान ज्ञात कीजिए।
एक सज्जन ने पहले दिन 4 D ([[लीलावती में 'तौल और माप'|द्रम]]) दान में (ब्राह्मण को) दिए। पंद्रह दिनों तक उन्होंने अपनी दानशीलता जारी रखी, प्रतिदिन अपने योगदान को पिछले दिन की तुलना में 5D बढ़ा दिया। कुल दान ज्ञात कीजिए।


'''टिप्पणी:''' यहाँ a = 4, सार्व अंतर = d = 5, n = 15।
'''टिप्पणी:''' यहाँ a = 4, सार्व अंतर = d = 5, n = 15।
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''गच्छहृते गणिते वदनं स्यात् व्येकपदघ्नचयार्धविहीने'' ॥
''गच्छहृते गणिते वदनं स्यात् व्येकपदघ्नचयार्धविहीने'' ॥


किसी समांतर श्रेढ़ी(A.P.) का पहला पद ज्ञात करने के लिए, दिए गए योग को पदों की संख्या से विभाजित करें। शब्दों की संख्या घटाकर सामान्य अंतर को आधा करके गुणा करें, और इस परिणाम को पहले से प्राप्त भागफल से घटाएं।
किसी समांतर श्रेढ़ी(A.P.) का पहला पद ज्ञात करने के लिए, दिए गए योग को पदों की संख्या से विभाजित करें। शब्दों की संख्या घटाकर सामान्य अंतर को आधा करके इस परिणाम से गुणा करें, और इस परिणाम को पहले से प्राप्त भागफल से घटाएं।


<math>a = \frac{S}{n}-\frac{(n-1)d}{2}</math>
<math>a = \frac{S}{n}-\frac{(n-1)d}{2}</math>
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''रिपुनगरमवाप्तः सप्तरात्रेण धीमन्'' ॥
''रिपुनगरमवाप्तः सप्तरात्रेण धीमन्'' ॥


दुश्मन हाथियों को पकड़ने के लिए, एक राजा पहले दिन 2 Y (योजना) तय करता है और फिर बाद के दिनों में अपनी दूरी को A.P तक बढ़ा देता है। यदि वह 7 दिनों में 80 Y की यात्रा करता है, तो हे बुद्धिमान लड़के, प्रत्येक दिन अतिरिक्त दूरी ज्ञात कीजिए।
दुश्मन हाथियों को पकड़ने के लिए, एक राजा पहले दिन 2 Y (योजना) का क्षेत्र आवरण करता है और फिर बाद के दिनों में अंकगणितीय अनुक्रम के अनुसार अपनी दूरी बढ़ाता है। यदि वह 7 दिनों में 80 Y(योजना) की यात्रा करता है, तो हे बुद्धिमान लड़के, प्रत्येक दिन अतिरिक्त दूरी ज्ञात कीजिए।


'''टिप्पणी: S = 80 , n=7 , a = 2'''
'''टिप्पणी: S = 80 , n=7 , a = 2'''
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''मूलं मुखोनं चयखंडयुक्तम् चयोद्धृतं गच्छमुदाहरन्ति'' ॥
''मूलं मुखोनं चयखंडयुक्तम् चयोद्धृतं गच्छमुदाहरन्ति'' ॥


पहले पद और आधी C.D के बीच के अंतर का वर्ग जोड़ें। (दिए गए A.P. के) योग को C.D के दोगुने से गुणा किया जाता है। फिर इस परिणाम का (धनात्मक) वर्गमूल ज्ञात कीजिए। पहले पद को घटाएं और आधा C.D जोड़ें। इस वर्गमूल के लिए। परिणामी को C.D द्वारा विभाजित किया गया। शब्दों की संख्या है (A.P. में)।
पहले पद और सार्व अंतर(C.D) के आधे के बीच का अंतर का वर्ग जोड़ें। इसे (दिए गए A.P. के) योग से गुणित करें और इस पर C.D के दोगुने से गुणा किया जाता है। फिर इस परिणाम का (धनात्मक) वर्गमूल ज्ञात कीजिए।इस वर्गमूल से पहले पद को घटाएं और इसे C.D के आधे को जोड़ें। इस परिणाम को C.D से विभाजित करने से (A.P.)पदों की संख्या प्राप्त होगी ।


<math>n=\frac{\sqrt{2Sd+(a-\frac{d}{2})^2}-(a-\frac{d}{2})}{d}</math>
<math>n=\frac{\sqrt{2Sd+(a-\frac{d}{2})^2}-(a-\frac{d}{2})}{d}</math>
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''शतत्रयं षष्ट्यधिकं द्विजेभ्यो दत्तं कियद्भिर्दिवसैर्वदाशु''  ॥
''शतत्रयं षष्ट्यधिकं द्विजेभ्यो दत्तं कियद्भिर्दिवसैर्वदाशु''  ॥


एक दानी ने पहले दिन एक ब्राह्मण को 3 डी (द्रम) दान में दिए। वह अपने दान में प्रतिदिन 2 D की वृद्धि करता रहा। यदि उसके द्वारा दी गई कुल राशि 360 D के बराबर है, तो उसने कितने दिनों तक दान दिया?
एक दाता ने पहले दिन एक ब्राह्मण को 3 डी (द्रम) दान में दिए। वह अपने दान में प्रतिदिन 2 D की वृद्धि करता रहा। यदि उसके द्वारा दी गई कुल राशि 360 D के बराबर है, तो उसने कितने दिनों तक दान दिया?


'''टिप्पणी:'''
'''टिप्पणी:'''
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
<references />
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[[Category:लीलावती में गणित]]
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Latest revision as of 18:03, 30 August 2023

एक समांतर श्रेढ़ी या अंकगणितीय अनुक्रम (AP) संख्याओं का एक अनुक्रम है, जैसे कि किसी भी सफल पद से उसके पूर्ववर्ती पद का अंतर पूरे अनुक्रम में स्थिर रहता है। यह निरंतर अंतर उस समांतर श्रेणी का सामान्य अंतर कहलाता है। उदाहरण के लिए,अनुक्रम 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . सामान्य अंतर '2' के साथ एक समांतर श्रेढ़ी है।[1]

श्लोक 123

सैकपदघ्नपदार्धमथैकाद्यङ्कयुतिः किल सङ्कलिताख्या ।

सा द्वियुतेन पदेन विनिघ्नी स्यात् त्रिहृता खलु सङ्कलितैक्यम् ॥ १२३ ॥

[2]

उदाहरण:

एकादीनां नवान्तानां पृथक् सङ्कलितानि मे ।

तेषां सङ्कलितैक्यानि प्रचक्ष्व गणक द्रुतम् ॥

और ज्ञात कीजिए

श्लोक 123 के अनुसार उत्तर इस प्रकार हैं

श्लोक 125

द्विघ्नपदं कुयुतं त्रिविभक्तं सङ्कलितेन हतं कृतियोगः ।

सङ्कलितस्य कृतेः सममेकाद्यङ्कघनैक्यमुदाहृतमाद्यैः॥