विलोपन विधि

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के विभिन्न विधियाँ हैं । इन्हें हल करने का सबसे सरल विधि, विलोपन विधि है । समीकरण को एक चर में प्राप्त करने के लिए हम समीकरण को जोड़ते या घटाते हैं। यदि किसी एक चर के गुणांक समान है और गुणांक के चिन्ह विपरीत है तो हम चर को विलुप्त करने के लिए समीकरण को जोड़ते हैं तथा इसी प्रकार यदि किसी एक चर के गुणांक समान है और गुणांक के चिन्ह भी समान है , तो हम समीकरणों को घटाते हैं । यदि समीकरणो में चर के गुणांक असमान हो तो हम किसी स्थिरांक से समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं और उसके बाद चरो का विलोपन करते हैं । इस इकाई में हम विलोपन विधि को विस्तार पूर्वक समझने का प्रयास करते हैं ।

विलोपन विधि के मुख्य चरण

विलोपन विधि के मुख्य चरण निम्नलिखित है ;

चरण 1

सबसे पहले , हम किसी भी एक चर (या तो $x$ या $y$) के गुणांक को संख्यात्मक रूप से बराबर करने के लिए दिए गए दोनों समीकरणों को उपयुक्त स्थिरांक से गुणा करते हैं ।

चरण 2

उसके बाद , हम एक समीकरण को दूसरे में इस प्रकार जोड़ते या घटाते हैं कि एक चर विलुप्त हो जाए । यदि हमें एक चक्र में समीकरण प्राप्त हो जाता है तो हम तृतीय चरण की तरफ बढ़ेंगे । यदि चरण 2 में हमें एक सत्य कथन प्राप्त होता है जिसमें कोई चर नहीं है , तो मूल समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं । यदि चरण 2 में हमें कोई गलत कथन प्राप्त होता है जिसमें कोई चर नहीं है , तो मूल समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है , अर्थात यह समीकरण युग्म असंगत है ।

चरण 3

हम चर का मान प्राप्त करने के लिए चरण 2 में प्राप्त एक चर वाले समीकरण को हल करेंगे ।

चरण 4

चरण 3 में प्राप्त चर के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान प्राप्त कर सकते हैं ।

इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।

उदाहरण 1

विलोपन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

$2x+3y=8$

$4x+6y=7$

हल

दी गई समीकरण ,

$2x+3y=8$ $....................(1)$

$4x+6y=7$ $......................(2)$

$x$ का गुणांक बराबर बनाने के लिए हम समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $1$ से गुणा करेंगे ,

$2\times (2x+3y=8)$

$1\times (4x+6y=7)$

$4x+6y=16$$....................(3)$

$4x+6y=7$$......................(4)$

समीकरण $(3)$ से समीकरण $(4)$ को घटाने पर ,

$(4x+6y)-(4x+6y)=16-7$

$(4x-4x)+(6y-6y)=16-7$

$0=9$ , जो एक गलत कथन है ।

इसलिए , दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है ।

उदाहरण 2

विलोपन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

$x+y=5$

$2x-3y=5$

हल

दी गई समीकरण ,

$x+y=5$ $....................(1)$

$2x-3y=5$ $....................(2)$

$x$ का गुणांक बराबर बनाने के लिए हम समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $1$ से गुणा करेंगे ,

$2\times (x+y=5)$

$1\times (2x-3y=5)$

$2x+2y=10$$....................(3)$

$2x-3y=5$$......................(4)$

समीकरण $(3)$ से समीकरण $(4)$ को घटाने पर ,

$(2x+2y)-(2x-3y)=10-5$

$(2x-2x)+(2y+3y)=10-5$

$5y=5$

$y={\frac {5}{5}}$

$y=1$

$y$ के प्राप्त मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर ,

$x+y=5$

$x+1=5$ ( $y=1$ )

$x=5-1$

$x=4$

अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल $x=4$ , $y=1$ है ।

सत्यापन

समीकरण $(1)$ ,

$x+y=5$

मान रखने पर ( $x=4$ , $y=1$) ,

$4+1=5$

$5=5$

समीकरण $(2)$

$2x-3y=5$

मान रखने पर ( $x=4$ , $y=1$) ,

$2\times 4-3\times 1=5$

$8-3=5$

$5=5$

उदाहरण 3

ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका अंतर $6$ हो और पहली संख्या के दो गुना में दूसरी संख्या का $6$ गुना जोड़ने पर $20$ प्राप्त होता है ।

हल

माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,

$a-b=6$ $....................(1)$

$2a+6b=20$ $....................(2)$

$a$ का गुणांक बराबर बनाने के लिए हम समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $1$ से गुणा करेंगे ,

$2\times (a-b=6)$

$1\times (2a+6b=20)$

$2a-2b=12$$....................(3)$

$2a+6b=20$$......................(4)$

समीकरण $(3)$ से समीकरण $(4)$ को घटाने पर ,

$(2a-2b)-(2a+6b)=12-20$

$(2a-2a)-(2b+6b)=-8$

$-8b=-8$

$b={\frac {-8}{-8}}$

$b=1$

$b$ के प्राप्त मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर ,

$a-b=6$

$a-1=6$

$a=6+1$

$a=7$

अतः , प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , दो संख्याएँ $7,1$ है ।

सत्यापन

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,

तर्क 1 : दो संख्याओं का अंतर $6$ है ,

$a-b=6$

मान रखने पर $(a=7,b=1)$ ,

$7-1=6$

$6=6$

तर्क 2 : पहली संख्या के दो गुना में दूसरी संख्या का $6$ गुना जोड़ने पर $20$ प्राप्त होता है ,

$2a+6b=20$

मान रखने पर $(a=7,b=1)$ ,

$2\times 7+6\times 1=20$

$14+6=20$

$20=20$

अतः , संख्याएँ सही हैं ।

अभ्यास प्रश्न

1. विलोपन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें : $3x-8y=9$ , $9x=2y+10$
2. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग $9$ है। इस संख्या का नौ गुना, अंकों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या का दोगुना है। संख्या ज्ञात कीजिए ।