सारणिक

सारणिक एक अदिश मान है जिसकी गणना एक वर्ग आव्यूह के तत्वों से की जा सकती है।

परिभाषा

प्रत्येक $n\times n$ कोटि का वर्ग आव्यूह $C=[c_{ij}]$ के लिए, एक सारणिक को एक अदिश मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो वास्तविक या एक जटिल संख्या है, जहां आव्यूह का $(i,j)$वां अवयव $c_{ij}$ है। सारणिक को $det(C)$ या ${\begin{vmatrix}C\end{vmatrix}}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक सारणिक को संख्याओं की ग्रिड लेकर और उन्हें वर्गाकार कोष्ठकों का उपयोग करने के बजाय निरपेक्ष-मूल्य बार के अंदर व्यवस्थित करके लिखा जाता है।

आव्यूह $C={\begin{bmatrix}4&5\\3&2\end{bmatrix}}$ पर विचार करें

तब, इसके सारणिक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

${\begin{vmatrix}C\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}4&5\\3&2\end{vmatrix}}$

कोटि एक के आव्यूह का सारणिक

मान लीजिए $A={\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}$ कोटि $1$ का आव्यूह है, तो $A$ का सारणिक $a$ के समान परिभाषित किया जाएगा।

उदाहरण

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=2$

कोटि दो के आव्यूह का सारणिक

मान लीजिए $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$ कोटि $2\times 2$ का आव्यूह है, तो $A$ का सारणिक ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ के समान परिभाषित किया जाएगा।

उदाहरण

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&4\\-1&2\end{vmatrix}}=2\times 2-4\times -1=4-(-4)=4+4=8$

कोटि तीन के आव्यूह का सारणिक

कोटि तीन के आव्यूह के सारणिक को दूसरे कोटि के सारणिकों के रूप में व्यक्त करके निर्धारित किया जा सकता है। इसे एक पंक्ति (या एक स्तंभ) के साथ एक सारणिक के विस्तार/प्रसार के रूप में जाना जाता है।

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

एक पंक्ति के साथ एक सारणिक का विस्तार (पहली पंक्ति)

प्रक्रिया 1: पहली पंक्ति के पहले अवयव $a_{11}$ को $(-1)^{sum\ of\ suffixes\ in\ a_{11}}=(-1)^{1+1}=(-1)^{2}=1$ और ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ की पहली पंक्ति और पहले स्तंभ के अवयवों को हटाकर प्राप्त दूसरे कोटि के सारणिक के साथ से गुणा करें चूँकि $a_{11}$ पहली पंक्ति और पहले स्तंभ में स्थित है।

$1\times a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$

प्रक्रिया 2 : पहली पंक्ति के पहले अवयव $a_{12}$ को $(-1)^{sum\ of\ suffixes\ in\ a_{12}}=(-1)^{1+2}=(-1)^{3}=-1$ और ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ के अवयवों को हटाकर प्राप्त दूसरे कोटि के सारणिक के साथ से गुणा करें चूँकि $a_{12}$ पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में स्थित है।

$-1\times a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}$

प्रक्रिया 3  : पहली पंक्ति के पहले अवयव $a_{13}$ को $(-1)^{sum\ of\ suffixes\ in\ a_{13}}=(-1)^{1+3}=(-1)^{4}=1$ और ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ की पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयवों को हटाकर प्राप्त दूसरे कोटि के सारणिक के साथ से गुणा करें चूँकि $a_{13}$ पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में स्थित है।

$1\times a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}$

प्रक्रिया 4  : उपरोक्त प्रक्रिया 1, 2, और 3 में प्राप्त तीनों पदों के योग के रूप में लिखे गए $A$ (${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$) के सारणिकों का विस्तार इस प्रकार दिया गया है

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=(1\times a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}})+(-1\times a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}})+(1\times a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}})$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

उदाहरण

$A={\begin{bmatrix}3&1&1\\4&-2&5\\2&8&7\end{bmatrix}}$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=(1\times 3{\begin{vmatrix}-2&5\\8&7\end{vmatrix}})+(-1\times 1{\begin{vmatrix}4&5\\2&7\end{vmatrix}})+(1\times 1{\begin{vmatrix}4&-2\\2&8\end{vmatrix}})$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=3(-2\times 7-5\times 8)-1(4\times 7-5\times 2)+1(4\times 8-(-2\times 2))$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=3(-14-40)-1(28-10)+1(32-(-4))$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=3(-54)-1(18)+1(36)$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=-162-18+36$

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}=-144$