वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार: Difference between revisions

Latest revision as of 09:12, 7 May 2024

वास्तविक संख्या ${\frac {1}{7}},{\frac {10}{3}},{\frac {7}{8}}$ के लिए दशमलव प्रसार नीचे समझाया गया है।


${\frac {1}{7}}$								${\frac {10}{3}}$							${\frac {7}{8}}$
	0.142857.....									3.3333...						0.875
7	1	0							3	1	0				8	7	0
		7									9					6	4
		3	0								1	0					6	0
		2	8									9					5	6
			2	0								1	0					4	0
			1	4									9					4	0
				6	0								1	0					0
				5	6									9	शेष: 6,4,0. भाजक: 8
					4	0								1
					3	5			शेष: 1,1,1,1... भाजक: 3
						5	0
						4	9
							1
शेष: 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1... भाजक: 7

उपरोक्त विभाजन संक्रिया में

कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो $0$ हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।
शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है ( ${\frac {10}{3}}$ में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक $3$ है), ${\frac {1}{7}}$ में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ $326451$ हैं और भाजक $7$ है)
यदि शेषफल दोहराए जाते हैं, तो हमें भागफल में अंकों का एक दोहराव वाला खंड(ब्लॉक) मिलता है, ( ${\frac {10}{3}}$ के लिए, भागफल में $3$ दोहराव होते हैं, और ${\frac {1}{7}}$ के लिए, भागफल में खंड(ब्लॉक) $142857$ दोहराया जाता है)

ऊपर दिए गए उदाहरणों का उपयोग करते हुए उपरोक्त प्रतिरूप ${\frac {p}{q}}$ ( $q\neq 0$ ) के सभी परिमेयओं के स्वरुप के लिए सत्य है।

$p$ को $q$ से विभाजित करने पर, दो मुख्य बातें होती हैं - या तो शेषफल शून्य हो जाता है या कभी शून्य नहीं होता है और हमें शेषफलों की एक दोहराई जाने वाली श्रृंखला प्राप्त होती है।

वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार को तीन प्रकार में वर्गीकृत किया जा सकता है। वे इस प्रकार हैं:

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+वास्तविक संख्या <math>\frac{1}{7} , \frac{10}{3} , \frac{7}{8}</math> के लिए दशमलव प्रसार नीचे समझाया गया है।
 {| class="wikitable"
 |+
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 | rowspan="15" |
 |
-| colspan="5" style="border-bottom: solid 5px blue"|3.3333...
+| colspan="5" style="border-bottom: solid 5px blue" |3.3333...
 | rowspan="15" |
 |
-| colspan="4" style="border-bottom: solid 5px blue"|0.875
+| colspan="4" style="border-bottom: solid 5px blue" |0.875
 |-
 | rowspan="13" style="border-right: solid 5px blue; vertical-align:top" |7
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 |1
 |0
-| colspan="3" rowspan="2"  |
+| colspan="3" rowspan="2" |
 | rowspan="7" style="border-right: solid 5px blue; vertical-align:top" |8
 |7
@@ Line 89: / Line 90: @@
 |
 |9
-| colspan="5" rowspan="7" |Reminders: 6,4,0.
+| colspan="5" rowspan="7" |शेष: 6,4,0.
-Divisor: 8
+भाजक: 8
 |-
 | rowspan="5" |
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 |3
 |5
-| colspan="6" rowspan="5" |Reminders: 1,1,1,1...
+| colspan="6" rowspan="5" |शेष: 1,1,1,1...
-Divisor: 3
+भाजक: 3
 |-
 | rowspan="3" |
@@ Line 116: / Line 117: @@
 |1
 |-
-| colspan="8" |Reminders: 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1...
+| colspan="8" |शेष: 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1...
-Divisor: 7
+भाजक: 7
 |}
-In the above division operation
+उपरोक्त विभाजन संक्रिया में
-* The remainders either become <math>0</math> after some stage, or start repeating themselves.
+* कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो <math>0 </math> हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।
-* The number of entries in the repeating string of remainders is less than the divisor (in <math>\frac{10}{3} </math> , one number repeats itself and the divisor is <math>3</math> , in <math>\frac{1}{7} </math> there are six entries <math>326451</math> in the repeating string of remainders and the divisor is <math>7</math> )
+* शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है (<math>\frac{10}{3} </math> में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक <math>3</math> है), <math>\frac{1}{7} </math> में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ <math>326451</math> हैं और भाजक <math>7</math>  है)
-*If the remainders repeat, then we get a repeating block of digits in the quotient (for <math>\frac{10}{3} </math> , <math>3</math> repeats in the quotient and for <math>\frac{1}{7} </math> , repeating block <math>142857</math>  in the quotient)
+*यदि शेषफल दोहराए जाते हैं, तो हमें भागफल में अंकों का एक दोहराव वाला खंड(ब्लॉक) मिलता है, (<math>\frac{10}{3} </math> के लिए, भागफल में <math>3</math> दोहराव होते हैं, और <math>\frac{1}{7} </math> के लिए, भागफल में खंड(ब्लॉक) <math>142857</math> दोहराया जाता है)
-The above pattern using the examples above is true for all rationals of the form <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>).
+ऊपर दिए गए उदाहरणों का उपयोग करते हुए उपरोक्त प्रतिरूप  <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>) के सभी परिमेयओं के स्वरुप के लिए सत्य है।
-On division of <math>p </math> by <math>q </math>, two main things happen – either the remainder becomes zero or never becomes zero and we get a repeating string of remainders.
+<math>p</math> को <math>q</math> से विभाजित करने पर, दो मुख्य बातें होती हैं - या तो शेषफल शून्य हो जाता है या कभी शून्य नहीं होता है और हमें शेषफलों की एक दोहराई जाने वाली श्रृंखला प्राप्त होती है।
-The decimal expansion of real numbers can be classified into three types. They are:
+वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार को तीन प्रकार में वर्गीकृत किया जा सकता है। वे इस प्रकार हैं:
-* [[Terminating decimal expansions|Terminating Decimals]]
+* [[दशमलव प्रसार को सांत करना|दशमलव को सांत करना]]
-* [[Non-terminating recurring decimal expansions|Non-terminating and Repeating Decimals]]
+* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार|अनवसानी(असांत) और पुनरावर्ती दशमलव]]
-* [[Non-terminating recurring decimal expansions|Non-terminating and Non-repeating Decimals]]
+* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार|अनवसानी(असांत) और अपुनरावर्ती दशमलव]]
 [[Category:संख्या पद्धति]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-9]]