गुणनखंडन: Difference between revisions

Latest revision as of 09:10, 5 November 2024

गुणनखंडन या गुणनखंडीकरण क्या है?

जब हम किसी संख्या या बहुपद को अन्य बहुपदों के कई गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित करते हैं, जिसे गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है, तो इसे गुणनखंडन कहा जाता है।

किसी संख्या का गुणनखंड करने के लिए, हम गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणनखंडन एक इकाई (उदाहरण के लिए, एक संख्या, या एक बहुपद) को किसी अन्य इकाई या गुणक के गुणनफल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है, जिसे एक साथ गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।

गुणनखंडन सूत्र बड़ी संख्या को छोटी संख्याओं में विभाजित करता है, जिन्हें गुणनखंड कहा जाता है। गुणनखंड वह संख्या है जो किसी दिए गए पूर्णांक को बिना कोई शेष छोड़े पूर्णतः विभाजित कर देती है।

उदाहरण के लिए - $28=2\times 2\times 7$ का अभाज्य गुणनखंडन और

गुणनखंडन आरंभ करने से पहले, आइए 'गुणनखंड' शब्द को जान लें।

गुणनखंड क्या है?

गुणनखंड संख्याएँ, बीजगणितीय चर, या बीजगणितीय व्यंजक हैं जो संख्या या बीजीय व्यंजक को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए $9$ का एक गुणनखंड $1,3,9$ है

गुणनखंडन सूत्र क्या है?

गुणनखंडन सूत्र किसी संख्या को शीघ्रता से छोटी संख्याओं या संख्या के गुणनखंडों में विभाजित कर देता है। गुणनखंड वह संख्या है जो दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित कर देती है। किसी दिए गए मान का गुणनखंडन सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,

$N=x^{a}\times y^{b}\times z^{c}$

जहां,

$N$ = कोई भी संख्या
$x,y,z$ =संख्या $N$ के गुणनखंड
$a,b,c$ = क्रमशः कारक $x,y,z$ के घातांक।

बीजीय समीकरण के लिए गुणनखंडन सूत्रों की सूची

ऐसी कई बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ हैं जो हमें बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंडन और द्विघात समीकरणों के गुणनखंडन में सहायता करती हैं। यहाँ कुछ सूचीबद्ध हैं।

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}$
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

उदाहरण

राम संख्या 40 का गुणनखंडन करना चाहता है। 40 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है? इसे गुणनखंडन सूत्र का प्रयोग करके हल करें।

हल:

ज्ञात करने के लिए: $40$ का अभाज्य गुणनखंडन।

गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हुए,

किसी भी संख्या के लिए गुणनखंडन सूत्र,

$N=x^{a}\times y^{b}\times z^{c}$

$40=2\times 2\times 2\times 5$

$40=2^{3}\times 5$

$40$ = $2^{3}\times 5$ का अभाज्य गुणनखंड

2. गुणनखंडन करें $a^{2}-625$

हल:

$a^{2}-625=a^{2}-25^{2}$

ज्ञात सर्वसमिका का उपयोग करके, हम इस बहुपद का गुणनखंड बना सकते हैं

$a^{2}-25^{2}$ का स्वरूप $a^{2}-b^{2}$ है

हम यह जानते हैं $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

इस प्रकार हम बहुपद का गुणनखंड इस रूप से करते हैं $(a+25)(a-25)$

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 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-9]]
-== What is Factorisation? ==
+== गुणनखंडन या गुणनखंडीकरण क्या है? ==
-When we break a number or a polynomial into a product of many factors of other polynomials, which, when multiplied, gives the original number, it is called factorisation.
+जब हम किसी संख्या या बहुपद को अन्य बहुपदों के कई गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित करते हैं, जिसे गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है, तो इसे गुणनखंडन कहा जाता है।
-To factorise a number, we use the factorisation formula. The factorisation is the process of converting one entity (for example, a number, or a polynomial) into a product of another entity, or factors, which, when multiplied together, yield the original number.
+किसी संख्या का गुणनखंड करने के लिए, हम गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणनखंडन एक इकाई (उदाहरण के लिए, एक संख्या, या एक बहुपद) को किसी अन्य इकाई या गुणक के गुणनफल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है, जिसे एक साथ गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।
-The factorisation formula divides a large number into smaller numbers, known as factors. A factor is a number that divides a given integer completely without leaving any remainder.
+गुणनखंडन सूत्र बड़ी संख्या को छोटी संख्याओं में विभाजित करता है, जिन्हें गुणनखंड कहा जाता है। गुणनखंड वह संख्या है जो किसी दिए गए [[पूर्णांक]] को बिना कोई शेष छोड़े पूर्णतः विभाजित कर देती है।
-For example -  Prime Factorisation of <math>28 = 2 \times 2 \times 7 </math> and
+उदाहरण के लिए - <math>28 = 2 \times 2 \times 7 </math> का अभाज्य गुणनखंडन और
-Before starting factorisation, let us know the term, ‘Factor’.
+गुणनखंडन आरंभ करने से पहले, आइए 'गुणनखंड' शब्द को जान लें।
-What is a Factor?
+गुणनखंड क्या है?
-Factors are the numbers, algebraic variables or an algebraic expression which divides the number or an algebraic expression without leaving any remainder.
+गुणनखंड संख्याएँ, बीजगणितीय चर, या बीजगणितीय व्यंजक हैं जो संख्या या बीजीय व्यंजक को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करते हैं।
-For example factor of  <math>9  </math> is <math>1,3,9  </math>
+उदाहरण के लिए <math>9 </math> का एक गुणनखंड <math>1,3,9  </math> है
+== गुणनखंडन सूत्र क्या है? ==
-== What is Factorization Formula? ==
+गुणनखंडन सूत्र किसी संख्या को शीघ्रता से छोटी संख्याओं या संख्या के गुणनखंडों में विभाजित कर देता है। गुणनखंड वह संख्या है जो दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित कर देती है। किसी दिए गए मान का गुणनखंडन सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,
-The factorization formula factorizes a number quickly into smaller numbers or factors of the number. A factor is a number that divides the given number without any remainder. The factorization formula of a given value can be expressed as,
 <math>N = x^a\times y^b \times z^c </math>
-where,
+जहां,
-* <math>N </math>= Any number
+* <math>N </math>= कोई भी संख्या
-* <math>x,y,z </math> = Factors of number <math>N </math>
+* <math>x,y,z </math> =संख्या <math>N </math> के गुणनखंड
-* <math>a,b,c </math> = exponents of factors <math>x,y,z </math> respectively.
+* <math>a,b,c </math> = क्रमशः कारक <math>x,y,z </math> के घातांक।
-== List of Factorization Formulas for Algebraic Equation ==
+== बीजीय समीकरण के लिए गुणनखंडन सूत्रों की सूची ==
-There are many algebraic identities that help us in the factorization of algebraic expressions and the factorization of quadratic equations. Here are listed a few.
+ऐसी कई बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ हैं जो हमें बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंडन और [[द्विघात समीकरण|द्विघात]] समीकरणों के गुणनखंडन में सहायता करती हैं। यहाँ कुछ सूचीबद्ध हैं।
 * <math>(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 </math>
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 * <math>a^2-b^2 = (a+b)(a-b) </math>
-== Examples ==
+== उदाहरण ==
-# Ram wants to factorize number <math>40 </math>. What the prime factorization of <math>40 </math>? Solve it by using the factorization formula.
+# राम संख्या 40 का गुणनखंडन करना चाहता है। 40 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है? इसे गुणनखंडन सूत्र का प्रयोग करके हल करें।
-'''Solution:'''
+'''हल:'''
-To find: Prime factorization of <math>40 </math>.
+ज्ञात करने के लिए: <math>40 </math> का अभाज्य गुणनखंडन।
-Using Factorization Formula,
+गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हुए,
-Factorization Formula for any number,
+किसी भी संख्या के लिए गुणनखंडन सूत्र,
 <math>N = x^a\times y^b \times z^c </math>
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 <math>40 = 2^3\times 5 </math>
-Prime factorization of <math>40 </math> = <math>2^3\times 5 </math>
+<math>40 </math> = <math>2^3\times 5 </math> का अभाज्य गुणनखंड
-.  Factorize <math>a^2-625 </math>
-'''Solution:'''
+.  गुणनखंडन करें <math>a^2-625 </math>
+'''हल:'''
 <math>a^2-625=a^2-25^2 </math>
-Using the known identity, we can factorize this polynomial
+ज्ञात सर्वसमिका का उपयोग करके, हम इस बहुपद का गुणनखंड बना सकते हैं
-<math>a^2-25^2 </math> is of the form <math>a^2-b^2 </math>
-We know that <math>a^2-b^2 = (a+b)(a-b) </math>
-Thus we factorize the polynomial as <math>(a+25)(a-25) </math>
-== गुणनखंडन या गुणनखंडीकरण क्या है? ==
-जब हम किसी संख्या या बहुपद को अन्य बहुपदों के कई गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित करते हैं, जिसे गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है, तो इसे गुणनखंडन कहा जाता है।
-किसी संख्या का गुणनखंड करने के लिए, हम गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणनखंडन एक इकाई (उदाहरण के लिए, एक संख्या, या एक बहुपद) को किसी अन्य इकाई या  गुणक के गुणनफल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है, जिसे एक साथ गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।
+<math>a^2-25^2 </math>का स्वरूप <math>a^2-b^2 </math> है
-गुणनखंडन सूत्र बड़ी संख्या को छोटी संख्याओं में विभाजित करता है, जिन्हें गुणनखंड कहा जाता है। गुणनखंड वह संख्या है जो किसी दिए गए पूर्णांक को बिना कोई शेष छोड़े पूर्णतः विभाजित कर देती है।
+हम यह जानते हैं <math>a^2-b^2 = (a+b)(a-b) </math>
-उदाहरण के लिए - <math>28 = 2 \times 2 \times 7 </math> का अभाज्य गुणनखंडन और
+इस प्रकार हम [[बहुपद]] का गुणनखंड इस रूप से करते हैं <math>(a+25)(a-25) </math>
-गुणनखंडन आरंभ करने से पहले, आइए 'गुणनखंड' शब्द को जान लें।
-गुणनखंड क्या है?
-गुणनखंड संख्याएँ, बीजगणितीय चर, या बीजगणितीय व्यंजक हैं जो संख्या या बीजीय व्यंजक को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करते हैं।
-उदाहरण के लिए <math>9 </math> का एक गुणनखंड <math>1,3,9  </math> है