वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 08:38, 5 November 2024

यहां हम वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं की विधि को सीखेंगे।

वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं का नियम

एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है।
अपरिमेय संख्या के साथ एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय संख्या होती है।
जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो हमारे पास है,

${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$
${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$
$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})=a-b$

$(a+{\sqrt {b}})(a-{\sqrt {b}})=a^{2}-b$
$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {c}}+{\sqrt {d}})={\sqrt {ac}}+{\sqrt {ad}}+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {bd}}$
$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}=a+2{\sqrt {ab}}+b$

गणितीय संक्रियाएँ क्या हैं?

चार मूल गणितीय संक्रियाएँ जोड़ ( $+$ ), घटाव ( $-$ ), गुणा ( $\times$ ) और भाग ( $/$ ) हैं।

दो परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ

ये कुछ संक्रियाएँ हैं:

दो परिमेय संख्याओं का योग

जब दो परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $0.24+0.68=0.92$ . $0.92$ को ${\frac {92}{100}}$ , के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक अनुपात या ${\frac {p}{q}}$ रूप है।

दो परिमेय संख्याओं का घटाव

जब दो परिमेय संख्याओं को घटाया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $0.93-0.22=0.71$ जिसे ${\frac {71}{100}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

दो परिमेय संख्याओं का गुणन

जब दो परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $0.5$ को $185$ से गुणा करने पर $92.5$ प्राप्त होता है, जिसे ${\frac {925}{10}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

दो परिमेय संख्याओं का विभाजन

जब एक परिमेय संख्या को किसी अन्य परिमेय संख्या से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $0.352$ को $0.6$ से गुणा करने पर $0.58$ प्राप्त होता है, जिसे ${\frac {58}{100}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

दो अपरिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ

दो अपरिमेय संख्याओं का योग

जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय या परिमेय संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, ${\sqrt {3}}$ में ${\sqrt {3}}$ जोड़ने पर $2{\sqrt {3}}$ आता है जो एक परिमेय संख्या हो सकती है। हालाँकि, जब $2{\sqrt {5}}$ को $5{\sqrt {3}}$ में जोड़ा जाता है, तो हमें एक गैर-समाप्ति और गैर-आवर्ती दशमलव, एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है। इसे $2{\sqrt {5}}+5{\sqrt {3}}$ के रूप में लिखा जाता है.

दो अपरिमेय संख्याओं का घटाव

इसी प्रकार, जब दो अपरिमेय संख्याओं को घटाया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय या एक परिमेय संख्या हो सकती है। ${\sqrt {2}}$ में से ${\sqrt {2}}$ घटाने पर उत्तर $0$ आता है। जब $5{\sqrt {3}}$ में से $4{\sqrt {5}}$ घटाया जाता है तो उत्तर $5{\sqrt {3}}-4{\sqrt {5}}$ आता है।

दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन

दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, जब ${\sqrt {2}}$ को ${\sqrt {2}}$ से गुणा किया जाता है, तो हमें $2$ मिलता है जो एक परिमेय संख्या है। हालाँकि, जब ${\sqrt {2}}$ को ${\sqrt {3}}$ से गुणा किया जाता है, तो हमें ${\sqrt {6}}$ मिलता है जो एक अपरिमेय संख्या है।

दो अपरिमेय संख्याओं का विभाजन

गुणन के समान, जब एक अपरिमेय संख्या को दूसरी से विभाजित किया जाता है तो परिणाम के रूप में हम या तो एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब ${\sqrt {2}}$ को ${\sqrt {2}}$ से विभाजित किया जाता है, तो हमें $1$ प्राप्त होता है जो एक परिमेय संख्या है। लेकिन जब ${\sqrt {2}}$ को ${\sqrt {3}}$ से विभाजित किया जाता है, तो हमें ${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}$ प्राप्त होता है, जो एक अपरिमेय संख्या है।

परिमेय और अपरिमेय संख्या पर संक्रियाएँ

परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग

एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग सदैव अपरिमेय होता है। उदाहरण के लिए, जब $2$ को $5{\sqrt {3}}$ में जोड़ा जाता है तो हमें $2+5{\sqrt {3}}$ मिलता है जो एक परिमेय संख्या है।

परिमेय और अपरिमेय संख्या का घटाव

परिमेय और अपरिमेय संख्या के बीच का अंतर सदैव अपरिमेय होता है। उदाहरण के लिए, जब हम $2$ में से $5{\sqrt {3}}$ घटाते हैं, तो हमें $2-5{\sqrt {3}}$ मिलता है, जो अपरिमेय है।

परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणन

परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल परिमेय या अपरिमेय हो सकता है। उदाहरण के लिए, जब $2$ को ${\sqrt {2}}$ से गुणा किया जाता है, तो हमें $2{\sqrt {2}}$ मिलता है जो एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन जब ${\sqrt {12}}$ को ${\sqrt {3}}$ से गुणा किया जाता है, तो हमें ${\sqrt {36}}$ या $6$ मिलता है, जो एक परिमेय संख्या है।

परिमेय और अपरिमेय संख्या का विभाजन

जब किसी परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से भाग दिया जाता है या इसके विपरीत, तो भागफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, जब $8$ को ${\sqrt {2}}$ से विभाजित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है ${\frac {8}{\sqrt {2}}}$ , जो एक अपरिमेय संख्या है. उत्तर को और सरल करके $4{\sqrt {2}}$ किया जा सकता है जो भी एक अपरिमेय संख्या है।

उदाहरण

1. $({\sqrt {11}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {11}}-{\sqrt {b}})$

$11-7=4$

2. $({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}})^{2}$

$({\sqrt {3}})^{2}+2({\sqrt {3}})({\sqrt {7}})+({\sqrt {7}})^{2}$

$3+2({\sqrt {21}})+7$

$10+2({\sqrt {21}})$

3. $(5+{\sqrt {7}})(2+{\sqrt {5}})$

$10+5{\sqrt {5}}+2{\sqrt {7}}+{\sqrt {35}}$

4. $({\sqrt {7}}+{\sqrt {5}})({\sqrt {7}}-{\sqrt {5}})$

$({\sqrt {7}})^{2}-({\sqrt {5}})^{2}$

$7-5=2$

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-Here we will be learning operations on [[Real Numbers]].
+यहां हम [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्याओं]] पर संक्रियाओं की विधि को सीखेंगे।
+== वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं का नियम ==
-== Operations on Real Numbers Rules ==
+* एक [[परिमेय संख्याएँ|परिमेय संख्या]] और अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है।
+* [[अपरिमेय संख्याएँ|अपरिमेय संख्या]] के साथ एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय संख्या होती है।
-* The sum or difference of a rational number and an irrational number is irrational.
+* जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।
-* The product or quotient of a non-zero rational number with an irrational number is irrational number.
-* When two irrational numbers are added, subtracted, multiplied or divided, the result may be a rational or an irrational number.
-If ''a'' and ''b'' are positive real numbers, then we have,
+यदि <math>a </math> और <math>b</math> धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो हमारे पास है,
 * <math>\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}</math>
 * <math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}</math>
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 * <math>(\sqrt{a} +\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b</math>
-=== What are Mathematical Operations? ===
+== गणितीय संक्रियाएँ क्या हैं? ==
-The four basic Mathematical operations are addition (<math>+</math>), subtraction (<math>-</math>), multiplication (<math>\times</math>), and division (<math>/</math>).
+चार मूल गणितीय संक्रियाएँ जोड़ (<math>+</math>), घटाव (<math>-</math>), गुणा (<math>\times</math>) और भाग (<math>/</math>) हैं।
-== Operations on Two Rational Numbers ==
+== दो परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ ==
-These are some of the operations:
+ये कुछ संक्रियाएँ हैं:
-=== Addition of Two Rational Numbers ===
+=== दो परिमेय संख्याओं का योग ===
-When two rational numbers are added, the result is a rational number. For example, <math>0.24+0.68=0.92</math>. <math>0.92</math> can be written as <math>\frac{92}{100}</math>, which is a ratio or the <math>\frac{p}{q}</math> form.
+जब दो परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, <math>0.24+0.68=0.92</math>. <math>0.92</math> को <math>\frac{92}{100}</math>, के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक अनुपात या <math>\frac{p}{q}</math> रूप है।
-=== Subtraction of Two Rational Numbers ===
+=== दो परिमेय संख्याओं का घटाव ===
-When two rational numbers are subtracted, the result is a rational number. For example, <math>0.93-0.22=0.71</math> which can be written as <math>\frac{71}{100}</math>.
+जब दो परिमेय संख्याओं को घटाया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, <math>0.93-0.22=0.71</math> जिसे <math>\frac{71}{100}</math> के रूप में लिखा जा सकता है।
-=== Multiplication of Two Rational Numbers ===
+=== दो परिमेय संख्याओं का गुणन ===
-When two rational numbers are multiplied, the result is a rational number. For example, <math>0.5</math> multiplied by <math>185</math> is <math>92.5</math>, which can be written as <math>\frac{925}{10}</math>.
+जब दो परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, <math>0.5</math> को <math>185</math> से गुणा करने पर <math>92.5</math> प्राप्त होता है, जिसे <math>\frac{925}{10}</math> के रूप में लिखा जा सकता है।
-=== Division of Two Rational Numbers ===
+=== दो परिमेय संख्याओं का विभाजन ===
-When a rational number is divided by another rational number, the result is a rational number. For example, <math>0.352</math> divided by <math>0.6</math> is <math>0.58</math>, which can be written as <math>\frac{58}{100}</math>.
+जब एक परिमेय संख्या को किसी अन्य परिमेय संख्या से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, <math>0.352</math> को <math>0.6</math> से गुणा करने पर <math>0.58</math> प्राप्त होता है, जिसे  <math>\frac{58}{100}</math> के रूप में लिखा जा सकता है।
-== Operations on two Irrational Numbers ==
+== दो अपरिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ ==
-=== Addition of Two Irrational Numbers ===
+=== दो अपरिमेय संख्याओं का योग ===
-When two irrational numbers are added, the result can be an irrational or a rational number. For example, <math>\sqrt{3}</math> added to <math>\sqrt{3}</math> is  <math>2\sqrt{3}</math> which can which is a rational number. However, when <math>2\sqrt{5}</math> is added to <math>5\sqrt{3}</math>, we get a non-terminating and non-recurring decimal, an irrational number. It is written as <math>2\sqrt{5}+5\sqrt{3}</math>.
+जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय या परिमेय संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, <math>\sqrt{3}</math> में <math>\sqrt{3}</math> जोड़ने पर <math>2\sqrt{3}</math> आता है जो एक परिमेय संख्या हो सकती है। हालाँकि, जब <math>2\sqrt{5}</math> को <math>5\sqrt{3}</math> में जोड़ा जाता है, तो हमें एक गैर-समाप्ति और गैर-आवर्ती दशमलव, एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है। इसे <math>2\sqrt{5}+5\sqrt{3}</math> के रूप में लिखा जाता है.
-=== Subtraction of Two Irrational Numbers ===
+=== दो अपरिमेय संख्याओं का घटाव ===
-Similarly, when two irrational numbers are subtracted, the result can be an irrational or a rational number. <math>\sqrt{2}</math> is subtracted from <math>\sqrt{2}</math>, the answer is <math>0</math>. When <math>4\sqrt{5}</math> is subtracted from <math>5\sqrt{3}</math>, we get <math>5\sqrt{3}-4\sqrt{5}</math>.
+इसी प्रकार, जब दो अपरिमेय संख्याओं को घटाया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय या एक परिमेय संख्या हो सकती है। <math>\sqrt{2}</math> में से <math>\sqrt{2}</math> घटाने पर उत्तर <math>0</math> आता है। जब <math>5\sqrt{3}</math> में से <math>4\sqrt{5}</math> घटाया जाता है तो उत्तर <math>5\sqrt{3}-4\sqrt{5}</math> आता है।
-=== Multiplication of Two Irrational Numbers ===
+=== दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन ===
-The product of two irrational numbers can be an irrational number or a rational number. For example, when <math>\sqrt{2}</math> is multiplied by <math>\sqrt{2}</math>, we get <math>2</math> which is a rational number. However, when <math>\sqrt{2}</math> is multiplied by <math>\sqrt{3}</math>, we get <math>\sqrt{6}</math> which is an irrational number.
+दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, जब <math>\sqrt{2}</math> को <math>\sqrt{2}</math> से गुणा किया जाता है, तो हमें <math>2</math> मिलता है जो एक परिमेय संख्या है। हालाँकि, जब <math>\sqrt{2}</math>  को <math>\sqrt{3}</math> से गुणा किया जाता है, तो हमें <math>\sqrt{6}</math> मिलता है जो एक अपरिमेय संख्या है।
-=== Division of Two Irrational Numbers ===
+=== दो अपरिमेय संख्याओं का विभाजन ===
-Similar to multiplication, we can get either an irrational number or a rational number as a result when an irrational number is divided by another. For example, when <math>\sqrt{2}</math> is divided by <math>\sqrt{2}</math>, we get <math>1</math> which is a rational number. But when <math>\sqrt{2}</math> is divided by <math>\sqrt{3}</math>, we get <math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}</math>, which is an irrational number.
+गुणन के समान, जब एक अपरिमेय संख्या को दूसरी से विभाजित किया जाता है तो परिणाम के रूप में हम या तो एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>\sqrt{2}</math> को <math>\sqrt{2}</math> से विभाजित किया जाता है, तो हमें <math>1</math> प्राप्त होता है जो एक परिमेय संख्या है। लेकिन जब <math>\sqrt{2}</math> को <math>\sqrt{3}</math> से विभाजित किया जाता है, तो हमें <math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}</math> प्राप्त होता है, जो एक अपरिमेय संख्या है।
-== Operations on a Rational and an Irrational Number ==
+== परिमेय और अपरिमेय संख्या पर संक्रियाएँ ==
-=== Addition of an Irrational and a Rational Number ===
+=== परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग ===
-The sum of a rational and an irrational number is always irrational. For example, when <math>2</math> is added to <math>5\sqrt{3}</math>, we get <math>2+5\sqrt{3}</math>, which is a rational number.
+एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग सदैव अपरिमेय होता है। उदाहरण के लिए, जब <math>2</math> को <math>5\sqrt{3}</math> में जोड़ा जाता है तो हमें <math>2+5\sqrt{3}</math> मिलता है जो एक परिमेय संख्या है।
-=== Subtraction of an Irrational and a Rational Number ===
+=== परिमेय और अपरिमेय संख्या का घटाव ===
-The difference between a rational and an irrational number is always irrational. For example, when we subtract <math>5\sqrt{3}</math> from <math>2</math>, we get  <math>2-5\sqrt{3}</math>, which is irrational.
+परिमेय और अपरिमेय संख्या के बीच का अंतर सदैव अपरिमेय होता है। उदाहरण के लिए, जब हम <math>2</math> में से <math>5\sqrt{3}</math> घटाते हैं, तो हमें <math>2-5\sqrt{3}</math> मिलता है, जो अपरिमेय है।
-=== Multiplication of an Irrational and a Rational Number ===
+=== परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणन ===
-The product of a rational and an irrational number might be rational or irrational. For example, when <math>2</math> is multiplied by <math>\sqrt{2}</math>, we get <math>2\sqrt{2}</math> which is an irrational number, but when <math>\sqrt{12}</math>  is multiplied by <math>\sqrt{3}</math>, we get <math>\sqrt{36}</math>, or <math>6</math>, which is a rational number.
+परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल परिमेय या अपरिमेय हो सकता है। उदाहरण के लिए, जब <math>2</math> को <math>\sqrt{2}</math> से गुणा किया जाता है, तो हमें <math>2\sqrt{2}</math> मिलता है जो एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन जब <math>\sqrt{12}</math> को <math>\sqrt{3}</math> से गुणा किया जाता है, तो हमें <math>\sqrt{36}</math> या <math>6</math> मिलता है, जो एक परिमेय संख्या है।
-=== Division of an Irrational Number with a Rational Number ===
+=== परिमेय और अपरिमेय संख्या का विभाजन ===
-When a rational number is divided by an irrational number or vice versa, the quotient is always an irrational number. For example, when <math>8</math> is divided by <math>\sqrt{2}</math>, we get <math>\frac{8}{\sqrt{2}}</math>, which is an irrational number. The answer can be further simplified to  <math>4\sqrt{2}</math> which is also an irrational number.
+जब किसी परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से भाग दिया जाता है या इसके विपरीत, तो भागफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, जब <math>8</math> को <math>\sqrt{2}</math> से विभाजित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है <math>\frac{8}{\sqrt{2}}</math>, जो एक अपरिमेय संख्या है. उत्तर को और सरल करके <math>4\sqrt{2}</math> किया जा सकता है जो भी एक अपरिमेय संख्या है।
-== Examples ==
-.<math>(\sqrt{11} +\sqrt{7})(\sqrt{11} -\sqrt{b})</math>
-<math>11-7=4</math>
-.<math>(\sqrt{3} +\sqrt{7})^2 </math>
-<math>(\sqrt{3})^2 +2(\sqrt{3})(\sqrt{7})+(\sqrt{7})^2 </math>
-<math>3 +2(\sqrt{21})+7 </math>
-<math>10 +2(\sqrt{21}) </math>
-. <math>(5+\sqrt{7})(2 +\sqrt{5})</math>
-<math>10 + 5\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{35}</math>
-.<math>(\sqrt{7} +\sqrt{5})(\sqrt{7} -\sqrt{5})</math>
-<math>(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2</math>
-<math>7-5=2</math>
-यहां हम वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं की विधि को सीखेंगे।
-== वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं का नियम ==
-* एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है।
-* अपरिमेय संख्या के साथ एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय संख्या होती है।
-* जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।
-यदि <math>a </math> और <math>b</math> धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो हमारे पास है,
-* <math>\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}</math>
-* <math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}</math>
-* <math>(\sqrt{a} +\sqrt{b})(\sqrt{a} -\sqrt{b})=a-b</math>
-* <math>(a+\sqrt{b})(a -\sqrt{b})=a^2-b</math>
-* <math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c} +\sqrt{d})=\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{bc}+\sqrt{bd}</math>
-* <math>(\sqrt{a} +\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b</math>
 == उदाहरण ==