उपसमुच्चय: Difference between revisions

Latest revision as of 18:46, 6 November 2024

परिचय

उपसमुच्चय संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता आदि में उपसमुच्चयों का ज्ञान आवश्यक है। एक समुच्चय $\{A,B,C,D,X,Y,Z\}$ के रूप में दर्शाए गए वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और कोष्ठक $\{\}$ के भीतर संलग्न किया जाता है।

तात्पर्य

यदि $X$ सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और $Y$ सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है, तो इसका अर्थ है कि $Y$ का प्रत्येक अवयव $X$ का एक अवयव है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $Y$ , $X$ का एक उपसमुच्चय है।

परिभाषा

यदि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव, समुच्चय $B$ का भी एक अवयव है, तो $A$ , $B$ का उपसमुच्चय कहलाता है।

अन्य शब्दों में, $A\subset B$ , यदि जब कभी $a\in A$ , तो $a\in B$ . बहुधा प्रतीक ' $\Longrightarrow$ ', जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:

$A\subset B$ , यदि $a\in A$ $\Longrightarrow$ $a\in B$

हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं, “ $A$ , $B$ का एक उपसमुच्चय है, यदि इस तथ्य का, कि $a$ , $A$ का एक अवयव है तात्पर्य है कि $a$ , $B$ का भी एक अवयव है"। यदि $A$ , $B$ का एक उपसमुच्चय नहीं है, तो हम लिखते हैं कि $A$ ⊄ $B$ |

हमें ध्यान देना चाहिए कि $A$ को $B$ का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ में है। यह संभव है कि $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में भी है, तो $B\subset A$ | इस दशा में, $A$ और $B$ समान समुच्चय हैं और इस प्रकार $A\subset B$ और $B\subset A$ $\Longleftrightarrow A=B$ जहाँ '' द्विधा तात्पर्य (टू वे इम्प्लिकेशन्स) के लिए प्रतीक है और जिसे प्राय: 'यदि और केवल यदि' पढ़ते हैं तथा संक्षेप में 'iff' लिखते हैं।

परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है, अर्थात् $A\subset A$ | चूँकि रिक्त समुच्चय $\phi$ में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है।

नीचे दिए समुच्चयों पर विचार कीजिए:

$X$ = आपके विद्यालय के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय,

$Y$ = आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय ।

हम देखते हैं कि $Y$ का प्रत्येक अवयव, $X$ का भी एक अवयव है, हम कहते हैं कि $Y$ , $X$ का एक उपसमुच्चय हैं $X$ का एक उपसमुच्चय है, प्रतीकों में $X\subset Y$ द्वारा प्रकट करते हैं। प्रतीक ' $\subset$ ' कथन 'एक उपसमुच्चय है' अथवा 'अंतर्विष्ट है' के लिए प्रयुक्त होता है।

उदाहरण

अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:

(i) परिमेय संख्याओं का समुच्चय $M$ , वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि $M\subset R$ ।

(ii) यदि $A$ , संख्या $56$ के सभी भाजकों का समुच्चय है और $B$ , संख्या $56$ के सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है, तो $B$ । $A$ का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि $B\subset A$ ।

मान लीजिए कि $A=\{1,3,5\}$ और B = $B=\{x:x$ संख्या $6$ से कम एक विषम प्राकृत संख्या है $\}$ तो $A\subset B$ तथा $B\subset A$ , अतः $A=B$

(iv) मान लीजिए कि $A=\{a,e,i,o,u\}$ और $B=\{a,b,c,d\}$ । तो $A$ , $B$ का एक उपसमुच्चय नहीं है तथा $B$ भी $A$ का उपसमुच्चय नहीं है ।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं। यदि $A\subset B$ तथा $A\neq B$ तो $A$ , $B$ का उचित उपसमुच्चय कहलाता है और $B$ , $A$ का अधिसमुच्चय कहलाता है। उदाहरणार्थ,

$A=\{1,2,3\},B=\{1,2,3,4\}$ का एक उचित उपसमुच्चय है।

यदि समुच्चय $A$ में केवल एक अवयव हो, तो हम इसे एक एकल समुच्चय कहते हैं। अतः $\{a\}$ एक एकल समुच्चय है।

उपसमुच्चयों के प्रकार

उपसमुच्चयों के विभिन्न प्रकार हैं:

उचित उपसमुच्चय - समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय, सिवाय स्वयं के। उदाहरण के लिए, $A=\{1,2,3\}$ , तो इसके उचित उपसमुच्चय $\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}$ हो सकते हैं। $\{3,1\}$ परंतु समुच्चय $\{1,2,3\}$ स्वयं $A$ का उचित उपसमुच्चय नहीं है। यदि $A$ , $B$ का उचित उपसमुच्चय है, तो $A\subset B$ और $A\neq B$ है। इसमें समुच्चय $A$ के मात्र कुछ ही तत्व हैं, इसलिए यह कभी भी समुच्चय $A$ के समान नहीं होता है।

अनुचित उपसमुच्चय - प्रत्येक समुच्चय का एक अनुचित उपसमुच्चय होता है, वह स्वयं समुच्चय। उपसमुच्चय $\{1,2,3\}$ के लिए, इसका एकमात्र अनुचित उपसमुच्चय $\{1,2,3\}$ है। $\{a,b\},\{a,b\}$ का एकमात्र अनुचित उपसमुच्चय है। यदि $A$ , $B$ का अनुचित उपसमुच्चय है, तो $A\subseteq B$ और इसमें समुच्चय $A$ के सभी अवयव समाहित हैं, इसलिए यह हमेशा समुच्चय $A$ के समान होता है।

एकल(सिंगलटन) उपसमुच्चय - यदि किसी समुच्चय $A$ में एक ही अवयव है, तो उसे सिंगलटन उपसमुच्चय कहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय $A$ में एक अवयव $\{a\}$ है, तो {a} एक एकल उपसमुच्चय है।

निष्कर्ष

समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है। समुच्चयों की संख्या $2n$ है ( $n$ = समुच्चय में तत्वों की संख्या)। उपसमुच्चय किसी दिए गए समुच्चय का एक भाग है जो समान या कोई अन्य समुच्चय हो सकता है। एक उचित उपसमुच्चय ऐसा समुच्चय है जिसमें समुच्चय को छोड़कर तत्वों के विभिन्न संयोजन होते हैं। उपसमुच्चय और अधिसमुच्चय(सुपरसेट) एक दूसरे से संबंधित हैं। यदि $A$ , $B$ का उपसमुच्चय है, तो $B$ , $A$ का अधिसमुच्चय है।

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+== परिचय ==
+उपसमुच्चय [[संबंध|संबंधों]] और [[फलनों के प्रकार|फलनों]] की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। ज्यामिति, [[अनुक्रम]], प्रायिकता आदि में उपसमुच्चयों का ज्ञान आवश्यक है। एक समुच्चय <math>\{A, B, C, D, X, Y, Z\}</math> के रूप में दर्शाए गए वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और कोष्ठक <math>\{\}</math> के भीतर संलग्न किया जाता है।
+== तात्पर्य ==
+यदि <math>X</math> सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और <math>Y</math> सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है, तो इसका अर्थ है कि <math>Y</math> का प्रत्येक अवयव <math>X</math> का एक अवयव है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math>Y</math>, <math>X</math> का एक उपसमुच्चय है।
-उपसमुच्चय (Subsets)
+== परिभाषा ==
+यदि समुच्चय <math>A</math> का प्रत्येक अवयव, समुच्चय <math>B</math> का भी एक अवयव है, तो <math>A</math>, <math>B</math> का उपसमुच्चय कहलाता है।
-नीचे दिए समुच्चयों पर विचार कीजिए:
+अन्य शब्दों में, <math>A \subset B</math>, यदि जब कभी <math>a \in A</math>, तो <math>a \in B</math>. बहुधा प्रतीक '<math>\Longrightarrow</math>', जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:
+<math>A \subset B</math>, यदि <math>a \in A</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>a \in B</math>
+हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं, “<math>A</math> , <math>B</math> का एक उपसमुच्चय है, यदि इस तथ्य का, कि <math>a</math>, <math>A</math> का एक अवयव है तात्पर्य है कि <math>a</math>, <math>B</math> का भी एक अवयव है"। यदि <math>A</math>, <math>B</math> का एक उपसमुच्चय नहीं है, तो हम लिखते हैं कि <math>A</math><big>⊄</big><math>B</math> |
+हमें ध्यान देना चाहिए कि <math>A</math> को <math>B</math> का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि <math>A</math> का प्रत्येक अवयव <math>B</math> में है। यह संभव है कि <math>B</math> का प्रत्येक अवयव <math>A</math> में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि <math>B</math> का प्रत्येक अवयव <math>A</math> में भी है, तो <math>B \subset A</math> | इस दशा में, <math>A</math> और <math>B</math> समान समुच्चय हैं और इस प्रकार <math>A \subset B</math> और <math>B \subset A</math> <math>\Longleftrightarrow A = B</math> जहाँ <nowiki>''</nowiki> द्विधा तात्पर्य (टू वे इम्प्लिकेशन्स) के लिए प्रतीक है और जिसे प्राय: 'यदि और केवल यदि' पढ़ते हैं तथा संक्षेप में 'iff' लिखते हैं।
-X = आपके विद्यालय के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय,
+परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है, अर्थात् <math>A \subset A</math> | चूँकि रिक्त समुच्चय <math>\phi</math> में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि <math>\phi</math> प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है।
-Y = आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय ।
+नीचे दिए समुच्चयों पर विचार कीजिए:
-हम देखते हैं कि Y का प्रत्येक अवयव, X का भी एक अवयव है, हम कहते हैं कि Y, X का एक उपसमुच्चय हैं X का एक उपसमुच्चय है, प्रतीकों में XCY द्वारा प्रकट करते हैं। प्रतीक ८ कथन 'एक उपसमुच्चय है' अथवा 'अंतर्विष्ट है' के लिए प्रयुक्त होता है।
+<math>X</math>= आपके विद्यालय के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय,
-समुच्चय 11
+<math>Y</math> = आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय ।
-परिभाषा 4 यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव, समुच्चय B का भी एक अवयव है, तो A, B का उपसमुच्चय कहलाता है।
+हम देखते हैं कि <math>Y</math> का प्रत्येक अवयव, <math>X</math> का भी एक अवयव है, हम कहते हैं कि <math>Y</math>, <math>X</math> का एक उपसमुच्चय हैं <math>X</math> का एक उपसमुच्चय है, प्रतीकों में <math>X\subset Y </math> द्वारा प्रकट करते हैं। प्रतीक '<math>\subset</math>' कथन 'एक उपसमुच्चय है' अथवा 'अंतर्विष्ट है' के लिए प्रयुक्त होता है।
-दूसरे शब्दों में, AC B, यदि जब कभी aE A, तो aE B. बहुधा प्रतीक <nowiki>''</nowiki>, जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:
+== उदाहरण ==
+अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:
-AC B, यदि ∈ A ⇒ a€ B
+(i) परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>M</math>, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय <math>R</math> का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि <math>M\subset R</math>।
-हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं, “A, B का एक उपसमुच्चय है, यदि इस तथ्य का, कि, A का एक अवयव है तात्पर्य है कि a, B का भी एक अवयव है"। यदि A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है, तो हम लिखते हैं कि ACB |
+(ii) यदि <math>A</math>, संख्या <math>56</math> के सभी भाजकों का समुच्चय है और <math>B</math>, संख्या <math>56</math> के सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है, तो <math>B</math>। <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि <math>B \subset A</math>।
-हमें ध्यान देना चाहिए कि A को B का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि A का प्रत्येक अवयव B में है। यह संभव है कि B का प्रत्येक अवयव A में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि B का प्रत्येक अवयव A में भी है, तो BCA. इस दशा में, A और B समान समुच्चय हैं और इस प्रकार ACB और BCAA = B जहाँ <nowiki>''</nowiki> द्विधा तात्पर्य (two way implications) के लिए प्रतीक है और जिसे प्राय: 'यदि और केवल यदि' पढ़ते हैं तथा संक्षेप में 'iff' लिखते हैं।
+मान लीजिए कि <math>A = \{1, 3, 5\}</math> और B = <math>B=\{x:x</math> संख्या <math>6</math> से कम एक विषम प्राकृत संख्या है<math>\}</math> तो <math>A \subset B</math> तथा <math>B \subset A</math>, अतः <math>A = B</math>
-परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है, अर्थात् AC A | चूँकि रिक्त समुच्चय 6 में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि • प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:
+(iv) मान लीजिए कि <math>A = \{ a, e, i, o, u\}</math> और <math>B = \{ a, b, c, d\}</math>। तो <math>A</math>, <math>B</math> का एक उपसमुच्चय नहीं है तथा <math>B</math> भी <math>A</math> का उपसमुच्चय नहीं है ।
-(i) परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R का एक
+मान लीजिए कि <math>A</math> और <math>B</math> दो समुच्चय हैं। यदि <math>A \subset B</math> तथा <math>A\neq B</math> तो <math>A</math>, <math>B</math> का उचित उपसमुच्चय कहलाता है और <math>B</math>, <math>A</math> का अधिसमुच्चय कहलाता है। उदाहरणार्थ,
-उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि QCR.
+<math>A = \{1, 2, 3\}, B = \{1, 2, 3, 4\}</math>का एक उचित उपसमुच्चय है।
-(ii) यदि A, संख्या 56 के सभी भाजकों का समुच्चय है और B, संख्या 56 के सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है, तो B. A का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि B
+यदि समुच्चय <math>A</math> में केवल एक अवयव हो, तो हम इसे एक एकल समुच्चय कहते हैं। अतः <math>\{a\}</math> एक एकल समुच्चय है।
-मान लीजिए कि A = {1, 3, 5) और B = {xx संख्या 6 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है तो ACB तथा BCA, अतः A = B
+== उपसमुच्चयों के प्रकार ==
+उपसमुच्चयों के विभिन्न प्रकार हैं:
-(iv) मान लीजिए कि A = { a, e, i, o, u} और B = { a, b, c, d}. तो A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है तथा B भी A का उपसमुच्चय नहीं है ।
+'''उचित उपसमुच्चय''' - समुच्चय का कोई  भी उपसमुच्चय, सिवाय स्वयं के। उदाहरण के लिए, <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, तो इसके उचित उपसमुच्चय <math>\{1, 2\}, \{2,3\}, \{1,3\}</math>हो सकते हैं। <math>\{3, 1\}</math> परंतु समुच्चय <math>\{1, 2, 3\}</math> स्वयं <math>A</math> का उचित उपसमुच्चय नहीं है। यदि <math>A</math>, <math>B</math> का उचित उपसमुच्चय है, तो <math>A\subset B</math> और <math>A\neq B</math> है। इसमें समुच्चय <math>A</math> के मात्र कुछ ही तत्व हैं, इसलिए यह कभी भी समुच्चय <math>A</math> के समान नहीं होता है।
-मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं। यदि ACB तथा A ÷ B तो A, B का उचित उपसमुच्चय कहलाता है और B, A का अधिसमुच्चय कहलाता है। उदाहरणार्थ,
+'''अनुचित उपसमुच्चय''' - प्रत्येक समुच्चय का एक अनुचित उपसमुच्चय होता है, वह स्वयं समुच्चय। उपसमुच्चय <math>\{1, 2, 3\}</math> के लिए, इसका एकमात्र अनुचित उपसमुच्चय <math>\{1, 2, 3\}</math> है। <math>\{a, b\}, \{a, b\}</math> का एकमात्र अनुचित उपसमुच्चय है। यदि <math>A</math>, <math>B</math> का अनुचित उपसमुच्चय है, तो <math>A\subseteq B</math> और इसमें समुच्चय <math>A</math> के सभी अवयव समाहित हैं, इसलिए यह हमेशा समुच्चय <math>A</math> के समान होता है।
-A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} का एक उचित उपसमुच्चय है।
+'''एकल(सिंगलटन) उपसमुच्चय''' - यदि किसी समुच्चय <math>A</math> में एक ही अवयव है, तो उसे सिंगलटन उपसमुच्चय कहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय <math>A</math> में एक अवयव <math>\{a\}</math> है, तो {a} एक '''एकल''' उपसमुच्चय है।
-यदि समुच्चय A में केवल एक अवयव हो, तो हम इसे एक एकल समुच्चय कहते हैं। अतः (a) एक एकल समुच्चय है।
+== निष्कर्ष ==
+समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है। समुच्चयों की संख्या <math>2n</math> है (<math>n</math>= समुच्चय में तत्वों की संख्या)। उपसमुच्चय किसी दिए गए समुच्चय का एक भाग है जो समान या कोई अन्य समुच्चय हो सकता है। एक उचित उपसमुच्चय ऐसा समुच्चय है जिसमें समुच्चय को छोड़कर तत्वों के विभिन्न संयोजन होते हैं। उपसमुच्चय और अधिसमुच्चय(सुपरसेट) एक दूसरे से संबंधित हैं। यदि <math>A</math>, <math>B</math> का उपसमुच्चय है, तो <math>B</math>, <math>A</math> का  अधिसमुच्चय है।
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