सम्मिलन(समुच्चय): Difference between revisions

Latest revision as of 21:58, 6 November 2024

समुच्चयों का सम्मिलन

मान लेते हैं कि $A$ और $B$ कोई दो समुच्चय हैं। $A$ और $B$ का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें $A$ के सभी अवयवों के साथ $B$ के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक ' $\cup$ ' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम $A\cup B$ लिखते हैं और इसे ' $A$ सम्मिलन $B$ ' पढ़ते हैं।

उदाहरण 1: मान लीजिए कि $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$ । $A\cup B$ ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं कि $A\cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$

ध्यान दें कि $A\cup B$ लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव $6$ और $8$ को मात्र एक बार लिखते हैं।

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $A=\{a,e,i,o,u\}$ और $B=\{a,i,u\}$

$A\cup B=A$ ।

हल: स्पष्टतया $A\cup B=\{a,e,i,o,u\}=A$ ।

इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय $A$ और उसके उपसमुच्चय $B$ का सम्मिलन समुच्चय $A$ स्वयं होता है, अर्थात् यदि $B\subset A$ , तो $A\cup B=A$ ।

परिभाषा:

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चित्र-

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो $A$ में हैं या $B$ में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि $A\cup B=\{x:x\in A$ या $x\in B\}$ है।

दो समुच्चयों के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।

चित्र में छायांकित भाग $A\cup B$ को प्रदर्शित करता है।

सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्मः

(i) $A\cup B=B\cup A$ (क्रम विनिमय नियम )

(ii) $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (साहचर्य नियम)

(iii) $A\cup \phi =A$ (तत्समक नियम, $\phi$ संक्रिया का तत्समक अवयव है )

(iv) $A\cup A=A$ ( वर्गसम नियम)

(v) $U\cup A=U$ ( $U$ का नियम)

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 मान लेते हैं कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें <math>A</math> के सभी अवयवों के साथ <math>B</math> के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक '<math>\cup</math>' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>A\cup B</math> लिखते हैं और इसे '<math>A</math> सम्मिलन <math>B</math>' पढ़ते हैं।
-'''उदाहरण:''' मान लीजिए कि<math>A = \{ 2, 4, 6, 8\}</math>और <math>B = \{6, 8, 10, 12\}</math>।  <math>A\cup B</math>  ज्ञात कीजिए।
+'''उदाहरण 1:''' मान लीजिए कि<math>A = \{ 2, 4, 6, 8\}</math>और <math>B = \{6, 8, 10, 12\}</math>।  <math>A\cup B</math>  ज्ञात कीजिए।
 '''हल:'''  हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>
-नोट कीजिए कि <math>A\cup B</math> लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव <math>6</math> और <math>8</math> को मात्र  एक बार लिखते हैं।
+ध्यान दें कि <math>A\cup B</math> लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव <math>6</math> और <math>8</math> को मात्र  एक बार लिखते हैं।
+'''उदाहरण 2:'''  मान लीजिए कि <math>A = \{a, e, i, o, u \}</math>और <math>B =\{a, i, u\}</math>
+<math>A\cup B = A</math> ।
+'''हल:'''  स्पष्टतया <math>A\cup B = \{a,e, i, o, u\} = A</math> ।
+इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय <math>A</math> और उसके [[उपसमुच्चय]] <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय <math>A</math> स्वयं होता है, अर्थात् यदि <math>B\subset A</math>, तो <math>A\cup B=A</math>।
 == परिभाषा: ==
+[[File:समुच्चयों का सम्मिलन.jpg|thumb|चित्र-]]
 दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A\cup B=\{x:x\in A</math> या <math>x \in B\}</math> है।
-दो समुच्चयों के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।
+दो [[समुच्चयों पर संक्रियाएँ|समुच्चयों]] के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।
 चित्र में छायांकित भाग <math>A\cup B</math> को प्रदर्शित करता है।
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 (iv) <math>A\cup A = A</math> ( वर्गसम नियम)
 (v) <math>U\cup A = U</math> (<math>U</math> का नियम)
- [[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]
+[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]