क्रमचय: Difference between revisions

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नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है।  
नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है।  


a) '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं'''  
'''a)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं'''  


'''प्रमेय 1'''  <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक <math>^nP_r</math> से निरूपित करते हैं, जहाँ <math>0<r\leq n</math>  तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, <math>^nP_r=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)</math>
'''प्रमेय 1'''  <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक <math>^nP_r</math> से निरूपित करते हैं, जहाँ <math>0<r\leq n</math>  तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, <math>^nP_r=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)</math>


'''उपपत्ति'''    क्रमचयों की संख्या, <math>r</math> रिक्त स्थानों को <math>\Box \Box \Box \Box.... \Box</math> उत्तरोत्तर  
'''उपपत्ति'''    क्रमचयों की संख्या, <math>r</math> रिक्त स्थानों को  
 
<math>\Box \Box \Box \Box.... \Box</math>             उत्तरोत्तर  


←<math>r</math> रिक्त स्थान →  
←<math>r</math> रिक्त स्थान →  
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<math>^nP_r</math> के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक ! (जिसे " क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है। निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में ! का क्या अर्थ है? 7.3.2 क्रमगुणित संकेतन (Factorial notation) संकेतन n ! प्रथम ” प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1x2x3xx (n-1) xn को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को " क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 x 2 x 3 x 4... x (n-1) xn = n ! तदनुसार
<math>^nP_r</math> के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक <math>n!</math> (जिसे <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है।  


1=1!
निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में <math>n!</math> का क्या अर्थ है? 


1x2=2!  
'''b) क्रमगुणित संकेतन'''  संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n</math> को <math>n!</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। 


1x2 x3 = 3 !  
हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n=n!</math> तदनुसार


1x2 x3x4 = 4 !  
<math>1=1!</math>


हम परिभाषित करते हैं, कि 0 ! = 1
<math>1\times2=2!</math>


इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि 51 = 5 x 4 ! = 5x4x3 ! = 5x4×3×2 !  
<math>1\times2\times3 = 3!</math>


स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या " के लिए
<math>1\times2\times3\times4 = 4!</math>


=5x4x3x2x 1!
हम परिभाषित करते हैं, कि <math>0! = 1</math>


इत्यादि
इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि <math>5! = 5\times4! = 5\times4\times3! = 5\times4\times3\times2!=5\times4\times3\times2\times1!</math>


n!n (n
स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या <math>n</math> के लिए


1)!  
<math>n!=n(n-1)!
</math>


= n(n - 1) (n-2)!  
<math>=n(n-1)(n-2)!</math>                        <math>[</math> यदि <math>n\geq 2]</math>


[ यदि 22]  
<math>=n(n-1)(n-2)(n-3)!</math>            <math>[</math> यदि <math>n\geq 3]</math>


= n(n - 1) (n-2) (n = 3)!
इत्यादि
 
[ यदि n≥3]


(iii) 7!-5!  
'''उदाहरण-1'''  मान निकालिए (i) <math>5!</math>  (ii) <math>7!</math>  (iii) <math>7!-5!</math>


उदाहरण 5 मान निकालिए (i) 5 ! (ii)7 !
'''हल'''            (i)   <math> 5!= 1\times2\times3\times4\times5 =120</math>


हल
(ii)  <math>7!=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7=5040</math>


और  
और           (iii)  <math>7!-5!=5040-120=4920</math> 


(i) 5!= 1x2 x3x4x5 = 120 (ii) 7!= 1x2 x3x4x5x6x7 = 5040 (iii) 7! 5! 50401204920
'''उदहारण-2'''  परिकलन कीजिए  (i) <math>\frac{7!}{5!}</math>      (ii) <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}</math>


ublish
'''हल'''


उदहारण 6 परिकलन कीजिए (i)  
(i) हम प्राप्त करते हैं.  <math>\frac{7!}{5!} =\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42</math> 


F15
और            <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}= \frac{12\times11\times(10!)}{(10!)\times(2)}=6\times11=66</math> 


7!
क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। 


(ii)
'''प्रमेय 2''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या,  जबकि वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, <math>n^r </math> होती है। 


5!
'''क्रमचय के उदाहरण व्यवस्था के रूप में'''


12!
'''उदाहरण-3'''  (a)  <math>TRIANGLES</math> शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं? 


(10!) (21)  
(b) इनमें से कितने शब्द <math>T</math> से शुरू होते हैं और <math>S</math> पर खत्म होते हैं?


हल
'''समाधान''':


(i) हम प्राप्त करते हैं.
(a) दिए गए शब्द में <math>9</math> अलग-अलग अक्षर हैं। इस प्रकार, इस शब्द के अक्षरों के विभिन्न क्रमपरिवर्तन (या व्यवस्था) की संख्या <math>^9P_9=9!</math> है।


7!
(b) यदि हम शब्द के आरंभ में <math>T</math> और अंत में <math>S</math> लगाते हैं, तो हमें <math>7</math> स्थानों पर <math>7</math> अलग-अलग अक्षरों को क्रमचयित करना होगा। यह <math>^7P_7=7!</math> तरीकों से किया जा सकता है। इस प्रकार, ऐसे शब्दों की संख्या <math>7!</math> है।
 
7x6x5!
'''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं'''
 
= 7 x 6 = 42
'''प्रमेय 3'''    <math>n</math> वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ <math>p</math> वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न की हैं   <math>=\frac{n!}{p!}</math>
 
5!
 
5!
 
12!
 
12x11x(10!)  
 
और  
 
= 6 x 11 = 66
 
(10!) (2!)
 
(10!)x(2)
 
n!
 
उदाहरण 7 मान निकालिए
 
r!(n-r)!
 
n=5, r=2
 
हल हमें निम्नलिखित का मान निकालना है
 
no
 
5!
 
2!(5-2)!
 
(riffen n = 5, r = 2)
 
5!
 
5!
 
5x4
 
यहाँ पर  
 
=10
 
21(5-2)! 21x3!
 
2
 
7.3.3 "P, के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति ( Derivation of the formula for "P,)
 
"P, =
 
n!
 
(n-r)!
 
0 ≤r≤ n
 
आइए हम उस अवस्था पर वापस चलें जहाँ हमने निम्नलिखित ज्ञात किया था:
 
"Pn (n-1) (n-2)... (n-r+1)
 
इसके अंश और हर को (n - r) (n - r - 1 ) 3 x 2 x 1 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
 
कि
 
n(n-1) (n - 2)...(n-r+1)(n-r)(n-r-1)...3x2x1
 
n!
 
"P,
 
( n - r ) ( n - r - 1 ) ... 3x2x1
 
=  
 
(n - r ) !'
 
इस प्रकार "P,  
 
=
 
n!
 
( n - r ) !"
 
जहाँ 0 यह "P पहले से अधिक सुविधाजनक व्यंजक है।
 
T
 
विशेष रूप से जब r =n, तो " Pa
 
n!
 
--
 
=n! 0!
 
क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। इसी कारण से हमने " P = 1 परिभाषित किया है।
 
"Pg = 1 =
 
n! n!  
 
n! (n-0)!
 
अत: सूत्र ( 1 ), r = 0 के लिए भी लागू है।  
 
ERT
 
ublished
 
n!
 
"P, =
 
0≤r≤n
 
अतः
 
(n-r)!
 
'''प्रमेय 2''' n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, r वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, ' होती है।
 
जबकि
 
इसकी उपपत्ति पिछले प्रमेय की उपपत्ति के समान है, अतः इसको पाठक के लिए छोड़ दिया गया है।
 
r
 
अब हम "P के सूत्र की उपयोगिता को स्पष्ट करने के लिए पिछले अनुच्छेद के कुछ प्रश्नों को इस सूत्र के प्रयोग द्वारा सरल कर रहे हैं।
 
उदाहरण 1 में शब्दों की अभीष्ट संख्या = P = 4 ! = 24 जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हैं। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 4 = 256 होगी।
 
NUMBER शब्द के अक्षरों में से 3 अक्षरों वाले चयनित शब्दों की संख्या = "P1
 
=
 
6!
 
3!
 
4 × 5 × 6 = 120, यहाँ इस प्रश्न में भी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 6 = 216 होगी ।
 
12 व्यक्तियों के एक समुदाय से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चयन के तरीकों की संख्या, यह मानकर कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है, स्पष्टतया
 
12!
 
12 P2
 
===11×12 = 132.
 
10!
 
7.3.4 क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं (Permutations when all the objects are not distinct objects) मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ 20 हैं जो समान प्रकार के अक्षर हैं। हम इन दोनों को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O, और O, अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4 ! है । इन क्रमचयों में से एक क्रमचय ROOT पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय ROO T तथा ROOT ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O, तथा O को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O, तथा O, दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या
 
4!
 
= 3x4=12
 
2!
 
CERT
 
blis
 
इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है:
 
क्रमचय जब 0. 02 भिन्न-भिन्न हैं।
 
जब O, O, दोनों 0 के समान हैं।
 
= 3x4=12
 
इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है: क्रमचय जब O. 02 भिन्न-भिन्न हैं।
 
RO2O2T RO2O,T
 
TO,O2R TO2OR
 
ROTO2 RO2TO
 
NCER
 
ין
 
जबO, O, दोनों 0 के समान हैं।
 
be repoblis
 
ROOT
 
TOOR
 
TORO2
 
TO2R O1
 
ROTO
 
TORO
 
RTO,O2
 
RTOO
 
RTO2O
 
TRO, O2
 
TROO
 
TRO2O1
 
O, O, R T ]
 
OORT
 
0, 0, TR]
 
O, RO, T
 
OR OT
 
OROT
 
O, TO, R
 
OTOR
 
O, TO, R
 
O, R T O2