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| निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में <math>n!</math> का क्या अर्थ है? | | निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में <math>n!</math> का क्या अर्थ है? |
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| '''b) क्रमगुणित संकेतन''' संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1x2x3xx (n-1) xn को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 x 2 x 3 x 4... x (n-1) xn = n ! तदनुसार | | '''b) क्रमगुणित संकेतन''' संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n</math> को <math>n!</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। |
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| 1=1! | | हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n=n!</math> तदनुसार |
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| 1x2=2!
| | <math>1=1!</math> |
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| 1x2 x3 = 3 !
| | <math>1\times2=2!</math> |
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| 1x2 x3x4 = 4 !
| | <math>1\times2\times3 = 3!</math> |
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| हम परिभाषित करते हैं, कि 0 ! = 1
| | <math>1\times2\times3\times4 = 4!</math> |
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| इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि 51 = 5 x 4 ! = 5x4x3 ! = 5x4×3×2 !
| | हम परिभाषित करते हैं, कि <math>0! = 1</math> |
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| स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या " के लिए
| | इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि <math>5! = 5\times4! = 5\times4\times3! = 5\times4\times3\times2!=5\times4\times3\times2\times1!</math> |
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| =5x4x3x2x 1!
| | स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या <math>n</math> के लिए |
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| इत्यादि
| | <math>n!=n(n-1)! |
| | </math> |
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| n!n (n | | <math>=n(n-1)(n-2)!</math> <math>[</math> यदि <math>n\geq 2]</math> |
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| 1)! | | <math>=n(n-1)(n-2)(n-3)!</math> <math>[</math> यदि <math>n\geq 3]</math> |
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| = n(n - 1) (n-2)!
| | इत्यादि |
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| [ यदि 22]
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| = n(n - 1) (n-2) (n = 3)!
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| [ यदि n≥3]
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| (iii) 7!-5!
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| '''उदाहरण''' 5 मान निकालिए (i) 5 ! (ii)7 !
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| हल
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| और
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| (i) 5!= 1x2 x3x4x5 = 120 (ii) 7!= 1x2 x3x4x5x6x7 = 5040 (iii) 7! 5! 50401204920
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| ublish
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| '''उदहारण''' 6 परिकलन कीजिए (i)
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| F15
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| 7!
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| (ii)
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| 5!
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| 12!
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| (10!) (21)
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| हल
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| (i) हम प्राप्त करते हैं.
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| 7!
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| 7x6x5!
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| = 7 x 6 = 42
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| 5!
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| 5!
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| 12!
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| 12x11x(10!)
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| और
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| = 6 x 11 = 66
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| (10!) (2!)
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| (10!)x(2)
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| n!
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| '''उदाहरण''' 7 मान निकालिए
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| r!(n-r)!
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| n=5, r=2
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| हल हमें निम्नलिखित का मान निकालना है
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| no
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| 5!
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| 2!(5-2)!
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| (riffen n = 5, r = 2)
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| 5!
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| 5!
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| 5x4
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| यहाँ पर
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| =10
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| 21(5-2)! 21x3!
| | '''उदाहरण-1''' मान निकालिए (i) <math>5!</math> (ii) <math>7!</math> (iii) <math>7!-5!</math> |
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| 2
| | '''हल''' (i) <math> 5!= 1\times2\times3\times4\times5 =120</math> |
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| 7.3.3 "P, के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति ( Derivation of the formula for "P,)
| | (ii) <math>7!=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7=5040</math> |
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| "P, =
| | और (iii) <math>7!-5!=5040-120=4920</math> |
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| n!
| | '''उदहारण-2''' परिकलन कीजिए (i) <math>\frac{7!}{5!}</math> (ii) <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}</math> |
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| (n-r)!
| | '''हल''' |
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| 0 ≤r≤ n
| | (i) हम प्राप्त करते हैं. <math>\frac{7!}{5!} =\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42</math> |
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| आइए हम उस अवस्था पर वापस चलें जहाँ हमने निम्नलिखित ज्ञात किया था:
| | और <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}= \frac{12\times11\times(10!)}{(10!)\times(2)}=6\times11=66</math> |
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| "Pn (n-1) (n-2)... (n-r+1)
| | क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। |
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| इसके अंश और हर को (n - r) (n - r - 1 ) 3 x 2 x 1 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
| | '''प्रमेय 2''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, जबकि वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, <math>n^r </math> होती है। |
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| कि
| | '''क्रमचय के उदाहरण व्यवस्था के रूप में''' |
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| n(n-1) (n - 2)...(n-r+1)(n-r)(n-r-1)...3x2x1
| | '''उदाहरण-3''' (a) <math>TRIANGLES</math> शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं? |
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| n!
| | (b) इनमें से कितने शब्द <math>T</math> से शुरू होते हैं और <math>S</math> पर खत्म होते हैं? |
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| "P,
| | '''समाधान''': |
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| ( n - r ) ( n - r - 1 ) ... 3x2x1 | | (a) दिए गए शब्द में <math>9</math> अलग-अलग अक्षर हैं। इस प्रकार, इस शब्द के अक्षरों के विभिन्न क्रमपरिवर्तन (या व्यवस्था) की संख्या <math>^9P_9=9!</math> है। |
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| =
| | (b) यदि हम शब्द के आरंभ में <math>T</math> और अंत में <math>S</math> लगाते हैं, तो हमें <math>7</math> स्थानों पर <math>7</math> अलग-अलग अक्षरों को क्रमचयित करना होगा। यह <math>^7P_7=7!</math> तरीकों से किया जा सकता है। इस प्रकार, ऐसे शब्दों की संख्या <math>7!</math> है। |
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| (n - r ) !' | | '''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं''' |
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| इस प्रकार "P,
| | '''प्रमेय 3''' <math>n</math> वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ <math>p</math> वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न की हैं <math>=\frac{n!}{p!}</math> |
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| =
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| n!
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| ( n - r ) !"
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| जहाँ 0 यह "P पहले से अधिक सुविधाजनक व्यंजक है।
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| T | |
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| विशेष रूप से जब r =n, तो " Pa
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| n!
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| -- | |
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| =n! 0! | |
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| क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। इसी कारण से हमने " P = 1 परिभाषित किया है।
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| "Pg = 1 =
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| n! n!
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| n! (n-0)!
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| अत: सूत्र ( 1 ), r = 0 के लिए भी लागू है।
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| ERT
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| ublished
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| n!
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| "P, =
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| 0≤r≤n
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| अतः
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| (n-r)!
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| '''प्रमेय 2''' n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, r वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, ' होती है।
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| जबकि
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| इसकी उपपत्ति पिछले प्रमेय की उपपत्ति के समान है, अतः इसको पाठक के लिए छोड़ दिया गया है।
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| r
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| अब हम "P के सूत्र की उपयोगिता को स्पष्ट करने के लिए पिछले अनुच्छेद के कुछ प्रश्नों को इस सूत्र के प्रयोग द्वारा सरल कर रहे हैं।
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| '''उदाहरण''' 1 में शब्दों की अभीष्ट संख्या = P = 4 ! = 24 जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हैं। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 4 = 256 होगी।
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| NUMBER शब्द के अक्षरों में से 3 अक्षरों वाले चयनित शब्दों की संख्या = "P1
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| =
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| 6!
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| 3!
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| 4 × 5 × 6 = 120, यहाँ इस प्रश्न में भी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 6 = 216 होगी ।
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| 12 व्यक्तियों के एक समुदाय से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चयन के तरीकों की संख्या, यह मानकर कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है, स्पष्टतया
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| 12!
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| 12 P2
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| ===11×12 = 132.
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| 10!
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| '''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं''' | |
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| मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ 20 हैं जो समान प्रकार के अक्षर हैं। हम इन दोनों को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O, और O, अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4 ! है । इन क्रमचयों में से एक क्रमचय ROOT पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय ROO T तथा ROOT ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O, तथा O को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O, तथा O, दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या
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| 4!
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| = 3x4=12
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| 2!
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| CERT
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| blis
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| इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है:
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| क्रमचय जब 0. 02 भिन्न-भिन्न हैं।
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| जब O, O, दोनों 0 के समान हैं।
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| = 3x4=12
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| इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है: क्रमचय जब O. 02 भिन्न-भिन्न हैं।
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| RO2O2T RO2O,T
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| TO,O2R TO2OR
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| ROTO2 RO2TO
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| NCER
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| ין
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| जबO, O, दोनों 0 के समान हैं।
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| be repoblis
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| ROOT
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| TOOR
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| TORO2
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| TO2R O1
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| ROTO
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| | |
| TORO
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| RTO,O2
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| | |
| RTOO
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| | |
| RTO2O
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| | |
| TRO, O2
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| | |
| TROO
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| TRO2O1
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| O, O, R T ]
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| | |
| OORT
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| 0, 0, TR]
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| O, RO, T
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| | |
| OR OT
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| | |
| OROT
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| | |
| O, TO, R
| |
| | |
| OTOR
| |
| | |
| O, TO, R
| |
| | |
| O, R T O2
| |
| | |
| O, RTO
| |
| | |
| O TR O2 ]
| |
| | |
| O2 TRO,
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| O, O2TR
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| | |
| O, O, T R J
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| | |
| ORTO
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| EAT
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| bished
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| OOTR
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| आइए अब हम शब्द INSTITUTE के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस दशा में 9 अक्षर हैं, जिनमें I दो बार तथा T तीन बार आता है।
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| अस्थाई रूप से, हम इन समान अक्षरों को भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे I, I, T, T2, T,. 9 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेने से बने क्रमचयों की संख्या 91 है। इनमें से एक क्रमचय माना कि I, NT, SI, T, UET, पर विचार कीजिए। यदि I I. समान नहीं हों और T,, T,, T, एक जैसे न हों तो I, I, का 2! तरीकों स
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