क्रमचय

क्रमचय वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक $^{n}P_{r}$ का उपयोग $n$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें एक बार में $r$ लिया जाता है। यह बसों, ट्रेनों या उड़ानों के शेड्यूल, ज़िप कोड और फ़ोन नंबरों के आवंटन को लॉक करता है। ये कुछ स्थितियाँ हैं जहाँ क्रमचय का उपयोग किया जाता है।

परिचय

इस लेख में अन्य लेखों से भिन्न अक्षरों के प्रति इत्यादि की संभव संख्या की गणना करते हैं। इस सूची में प्रत्येक व्यवस्था/क्रम दूसरे से भिन्न हैं। दूसरे शब्दों में अक्षरों के लिखने का क्रम महत्वपूर्ण है इनमें से प्रत्येक व्यवस्था, $4$ विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को साथ लेकर बनाया गया, क्रमचय कहलाता है अब यदि हमें शब्द $NUMBER$, के अक्षरों में से $3$ अक्षरीय, अर्थपूर्ण या अर्थहीन रचित शब्दों की संख्या निर्धारित करनी है, जबकि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो, तो हमें ,$NMU,MUN,NUB,...$ इत्यादि विन्यासों की गणना की आवश्यकता है। यहाँ पर हम $6$ विभिन्न अक्षरों में से एक समय में $3$ अक्षरों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की गणना कर रहे हैं। इस प्रकार के शब्दों की अभीष्ट संख्या $=6\times 5\times 4=120$ (गुणन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा) हैं।

यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति होती, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या $6\times 6\times 6=216$ होगी।

परिभाषा

1) क्रमचय परिणामों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था और एक क्रमबद्ध संयोजन है। उदाहरण के लिए, $5$ कुर्सियाँ हैं और $3$ व्यक्तियों को बैठाना है। हमारे पास पहले व्यक्ति को बैठाने के $5$ तरीके हैं; अगले व्यक्ति को बैठाने के $4$ तरीके और तीसरे व्यक्ति को बैठाने के $3$ तरीके हैं। इस प्रकार, $5$ कुर्सियों में $3$ व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अपने पास उपलब्ध विकल्पों को गुणा करते हैं। हम इसे $5\times 4\times 3$तरीकों से करते हैं। यानी, इसे $60$ तरीकों से किया जा सकता है। ध्यान दें कि $5\times 4\times 3$ को ${\frac {(5!)}{(2!)}}$ (या) ${\frac {(5!)}{(5-3)!}}$ के रूप में लिखा जा सकता है!

इसे सामान्यीकृत करते हुए, हमें पहली कुर्सी भरने के लिए $n$ विकल्प, दूसरी को भरने के लिए $n-1$ विकल्प और तीसरी कुर्सी को भरने के लिए $n-2$ विकल्प मिलते हैं। इस प्रकार, $n$ कुर्सियों में $r$ लोगों के क्रमचय (व्यवस्था) की कुल संख्या $^{n}P_{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}$ के रूप में व्यक्त की जा सकती है।

क्रमचय का अर्थ है स्थिति बनाना। आइए क्रमचय के बारे में कुछ हल किए गए उदाहरणों के साथ और जानें।

क्रमचय का निरूपण :

$^{n}P_{r}=P_{r}^{n}=P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}$

2) क्रमचय एक निश्चित क्रम में बना विन्यास है, जिसको दी हुई वस्तुओं में से एक समय में कुछ या सभी को लेकर बनाया गया है।

नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है।

a) क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं

प्रमेय 1 $n$ विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में $r$ वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक $^{n}P_{r}$ से निरूपित करते हैं, जहाँ $0<r\leq n$ तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, $^{n}P_{r}=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)$

उपपत्ति क्रमचयों की संख्या, $r$ रिक्त स्थानों को

$\Box \Box \Box \Box ....\Box$ उत्तरोत्तर

←$r$ रिक्त स्थान →

$n$ वस्तुओं से भरने के तरीकों की संख्या के समान है। पहला स्थान तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद दूसरा स्थान $n-1$ तरीकों से भरा जा सकता है। इसके उपरांत तीसरा स्थान $n-2$ तरीकों से भरा जा सकता है।$....$ और $r$ वाँ स्थान $[n-(r-1)]$ उपायों से भरा जा सकता है। अतः $r$ रिक्त स्थानों को उत्तरोत्तर भरने के तरीकों की संख्या

$=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-(r-1))$ या $=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)$

$^{n}P_{r}$ के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक $n!$ (जिसे $$