त्रिकोणमितीय फलनों का चिह्न: Difference between revisions

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वृत्ताकार फलन, जिन्हें कभी-कभी त्रिकोणमितीय फलन के रूप में भी जाना जाता है, को सरलता से त्रिभुज के कोण के फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि ये त्रिकोणमितीय फलन त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंगेंट, सेकेंट और कोसेकेंट मूल त्रिकोणमितीय फलन हैं। कई त्रिकोणमितीय सूत्र और पहचान फलनों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं और त्रिभुज के कोणों के निर्धारण में सहायता करते हैं।
वृत्ताकार फलन, जिन्हें कभी-कभी [[त्रिकोणमितीय फलन]] के रूप में भी जाना जाता है, को सरलता से त्रिभुज के कोण के फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि ये त्रिकोणमितीय फलन त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंगेंट, सेकेंट और कोसेकेंट मूल त्रिकोणमितीय फलन हैं। कई त्रिकोणमितीय सूत्र और पहचान फलनों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं और त्रिभुज के कोणों के निर्धारण में सहायता करते हैं।


== छह त्रिकोणमितीय फलन ==
== छह त्रिकोणमितीय फलन ==
साइन, कोसाइन और स्पर्शज्या कोण त्रिकोणमितीय फलनों के मूलभूत वर्गीकरण हैं। कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट सभी फलनों को मूल फलनों से निकाला जा सकता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना में, अन्य तीन फलनों का अक्सर उपयोग किया जाता है। इन तीन प्रमुख फलनों की व्याख्या के लिए नीचे दिए गए आरेख पर एक नज़र डालें। इस आरेख का नाम साइन-कोस-टैन त्रिभुज है।
साइन, कोसाइन, और स्पर्शज्या कोण त्रिकोणमितीय फलनों के मूलभूत वर्गीकरण हैं। कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट सभी फलनों को मूल [[फलनों के प्रकार|फलनों]] से निकाला जा सकता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना में, अन्य तीन फलनों का प्रायः उपयोग किया जाता है। इन तीन प्रमुख फलनों की व्याख्या के लिए नीचे दिए गए आरेख पर एक दृष्टि डालें। इस आरेख का नाम साइन-कोस-टैन त्रिभुज है।


साइन फ़ंक्शन:
'''<math>sin</math> फलन:'''


विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण का अनुपात किसी कोण का साइन फ़ंक्शन होता है। जैसा कि आरेख में दिखाया गया है, साइन का मान है
विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण का अनुपात किसी कोण का sin फलन होता है। जैसा कि आरेख में दिखाया गया है, sin का मान है


सिन ए = विपरीत/कर्ण
<math>sinA=</math> विपरीत/कर्ण


कोस फ़ंक्शन:
'''<math>cos</math> फलन:'''


कोण का कोसाइन, पड़ोसी भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होता है। ऊपर दिए गए चित्र का उपयोग करके कोस फ़ंक्शन की गणना की जा सकती है।
कोण का कोसाइन, पड़ोसी भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होता है। ऊपर दिए गए चित्र का उपयोग करके cos फलन की गणना की जा सकती है।


कोस ए = आसन्न/कर्ण
<math>cosA=</math> आसन्न/कर्ण


टैन फ़ंक्शन:
'''<math>tan</math> फलन:'''


स्पर्शरेखा फ़ंक्शन विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात होता है। यह ध्यान देने योग्य है कि टैन को साइन और कोस के अनुपात के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। टैन फ़ंक्शन इस प्रकार होगा, जैसा कि ऊपर दिए गए आरेख में देखा जा सकता है।
स्पर्शरेखा फलन विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात होता है। यह ध्यान देने योग्य है कि tanको sin और cos के अनुपात के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। tan फलन इस प्रकार होगा, जैसा कि ऊपर दिए गए आरेख में देखा जा सकता है।


टैन ए = विपरीत/आसन्न
<math>tanA=</math>विपरीत/आसन्न


टैन को साइन और कॉस के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:
<math>tan</math> को <math>sin</math> और <math>cos</math> के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:


टैन ए = साइन ए/कॉस ए
<math>tanA = \frac{sinA}{cosA}</math>


सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट फ़ंक्शन:
सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट फलन:


तीन पूरक फ़ंक्शन सेकेंट, कोसेकेंट (कोसेक) और कोटैंजेंट मुख्य फ़ंक्शन साइन, कॉस और टैन से प्राप्त होते हैं। कोसेकेंट (कोसेक), सेकेंट (सेक) और कोटैंजेंट (कोट) क्रमशः साइन, कॉस और टैन के पारस्परिक हैं। इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन का सूत्र निम्न है:
तीन पूरक फलन सेकेंट, कोसेकेंट (<math>cosec</math>) और कोटैंजेंट मुख्य फलन <math>sin</math>, <math>cos</math>,और <math>tan</math> से प्राप्त होते हैं। कोसेकेंट (<math>cosec</math>), सेकेंट (<math>sec</math>) और कोटैंजेंट (<math>cot</math>) क्रमशः <math>sin</math>, <math>cos</math>, और <math>tan</math> के पारस्परिक हैं। इनमें से प्रत्येक फलन का सूत्र निम्न है:


Sec a = 1/(cos a) = कर्ण/आसन्न
<math>secA=\Bigl(\frac{1}{cosA}\Bigr)=</math>कर्ण/आसन्न


Cosec a = 1/(sin a) = कर्ण/विपरीत
<math>cosecA=\Bigl(\frac{1}{sinA}\Bigr)=</math> कर्ण/विपरीत


Cot a = 1/(tan a) = आसन्न/विपरीत
<math>cotA=\Bigl(\frac{1}{tanA}\Bigr)=</math> आसन्न/विपरीत
[[File:चार चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फलन.jpg|thumb|चित्र ]]


विभिन्न चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के चिह्न:
== विभिन्न चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के चिह्न ==
नीचे दिए गए आरेख में, प्रत्येक चतुर्थांश में त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न दिखाए गए हैं।


नीचे दिए गए आरेख में, प्रत्येक चतुर्थांश में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के चिह्न दिखाए गए हैं।
पहले चतुर्थांश में सभी फलन धनात्मक हैं,  


पहले चतुर्थांश में सभी फ़ंक्शन धनात्मक हैं,  
दूसरे चतुर्थांश में केवल <math>sin</math> और <math>cosec</math> धनात्मक हैं,  


दूसरे चतुर्थांश में केवल sin और cosec धनात्मक हैं,
तीसरे चतुर्थांश में केवल <math>tan</math> और <math>cot</math> धनात्मक हैं, और
 
तीसरे चतुर्थांश में केवल tan और cot धनात्मक हैं, और
 
चौथे चतुर्थांश में केवल cos और sec धनात्मक हैं।


चौथे चतुर्थांश में केवल <math>cos</math> और <math>sec</math> धनात्मक हैं।
[[File:त्रिकोणमितीय फलनों का चिह्न.jpg|thumb|चित्र  त्रिकोणमितीय फलनों का चिह्न]]
परिणामस्वरूप, विभिन्न चतुर्थांशों में विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्नों को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जा सकता है:  
परिणामस्वरूप, विभिन्न चतुर्थांशों में विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्नों को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जा सकता है:  


उदाहरण:
'''उदाहरण'''


यदि cot x = -5/12 है और x चौथे चतुर्थांश में स्थित है, तो cosec x का मान ज्ञात करें।
यदि <math>cot x = \frac{-5}{12}</math> है और <math>x</math> चौथे चतुर्थांश में स्थित है, तो <math>cosecx</math> का मान ज्ञात करें।


समाधान:
'''समाधान'''


दिया गया है,
दिया गया है,


Cot x = -5/12
<math>cot x = \frac{-5}{12}</math>


हम जानते हैं कि,
हम जानते हैं कि,


cosec²x – cot²x = 1
<math>cosec^2x-cot^2x=1</math>


cosec ²x = 1 + cot²x
<math>cosec^2x=1+cot^2x</math>


= 1 + (-5/12)²
<math>=1+\Bigl(\frac{-5}{12}\Bigr)^2</math>


= 1 + (25/144)
<math>=1+\left ( \frac{25}{144} \right )</math>


= (144 + 25)/144
<math>=\frac{(144+25)}{144}</math>


= 169/144
<math>=\frac{169}{144}</math>


cosec x = √(169/144) = ±13/12
<math>cosecx = \sqrt{\left ( \frac{169}{144} \right )}=\frac{\pm13}{12}  </math>


दिया गया है कि x चौथे चतुर्थांश में है और चौथे चतुर्थांश में cosec x ऋणात्मक है।
दिया गया है कि <math>x</math> चौथे चतुर्थांश में है और चौथे चतुर्थांश में <math>cosecx</math> ऋणात्मक है।


परिणामस्वरूप, cosec x = -13/12
परिणामस्वरूप, <math>cosecx= \frac{-13}{12}</math>


इसी तरह, हम आसानी से त्रिकोणमिति की कई समस्याओं को हल कर सकते हैं। इनका उपयोग त्रिकोणमिति कार्यों के मानों की गणना करने के लिए किया जा सकता है जो अन्य कार्यों के साथ-साथ त्रिकोणमिति कोणों पर भी निर्भर हैं।
इसी तरह, हम आसानी से त्रिकोणमिति की कई समस्याओं को हल कर सकते हैं। इनका उपयोग त्रिकोणमिति कार्यों के मानों की गणना करने के लिए किया जा सकता है जो अन्य कार्यों के साथ-साथ त्रिकोणमिति कोणों पर भी निर्भर हैं।


निष्कर्ष:
== निष्कर्ष ==
 
त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न कोण के टर्मिनल पक्ष पर बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। आप यह जानकर सभी त्रिकोणमितीय फलन के चिह्नों का पता लगा सकते हैं कि कोण का टर्मिनल पक्ष किस चतुर्थांश में है। कोण का टर्मिनल पक्ष आठ स्थानों में से किसी एक में पाया जा सकता है: चार चतुर्थांशों में से किसी एक में, या अक्षों के साथ सकारात्मक या नकारात्मक दिशा में (चतुर्थांश कोण)। त्रिकोणमितीय फलन के चिह्नों के लिए, प्रत्येक परिदृश्य का एक अलग अर्थ होता है।
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का चिह्न कोण के टर्मिनल पक्ष पर बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। आप यह जानकर सभी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्नों का पता लगा सकते हैं कि कोण का टर्मिनल पक्ष किस चतुर्थांश में है। कोण का टर्मिनल पक्ष आठ स्थानों में से किसी एक में पाया जा सकता है: चार चतुर्थांशों में से किसी एक में, या अक्षों के साथ सकारात्मक या नकारात्मक दिशा में (चतुर्थांश कोण)। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्नों के लिए, प्रत्येक परिदृश्य का एक अलग अर्थ होता है।

Latest revision as of 16:10, 13 November 2024

वृत्ताकार फलन, जिन्हें कभी-कभी त्रिकोणमितीय फलन के रूप में भी जाना जाता है, को सरलता से त्रिभुज के कोण के फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि ये त्रिकोणमितीय फलन त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंगेंट, सेकेंट और कोसेकेंट मूल त्रिकोणमितीय फलन हैं। कई त्रिकोणमितीय सूत्र और पहचान फलनों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं और त्रिभुज के कोणों के निर्धारण में सहायता करते हैं।

छह त्रिकोणमितीय फलन

साइन, कोसाइन, और स्पर्शज्या कोण त्रिकोणमितीय फलनों के मूलभूत वर्गीकरण हैं। कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट सभी फलनों को मूल फलनों से निकाला जा सकता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना में, अन्य तीन फलनों का प्रायः उपयोग किया जाता है। इन तीन प्रमुख फलनों की व्याख्या के लिए नीचे दिए गए आरेख पर एक दृष्टि डालें। इस आरेख का नाम साइन-कोस-टैन त्रिभुज है।

फलन:

विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण का अनुपात किसी कोण का sin फलन होता है। जैसा कि आरेख में दिखाया गया है, sin का मान है

विपरीत/कर्ण

फलन:

कोण का कोसाइन, पड़ोसी भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होता है। ऊपर दिए गए चित्र का उपयोग करके cos फलन की गणना की जा सकती है।

आसन्न/कर्ण

फलन:

स्पर्शरेखा फलन विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात होता है। यह ध्यान देने योग्य है कि tanको sin और cos के अनुपात के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। tan फलन इस प्रकार होगा, जैसा कि ऊपर दिए गए आरेख में देखा जा सकता है।

विपरीत/आसन्न

को और के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट फलन:

तीन पूरक फलन सेकेंट, कोसेकेंट () और कोटैंजेंट मुख्य फलन , ,और से प्राप्त होते हैं। कोसेकेंट (), सेकेंट () और कोटैंजेंट () क्रमशः , , और के पारस्परिक हैं। इनमें से प्रत्येक फलन का सूत्र निम्न है:

कर्ण/आसन्न

कर्ण/विपरीत

आसन्न/विपरीत