प्रसरण और मानक विचलन: Difference between revisions

Latest revision as of 21:27, 26 November 2024

सांख्यिकी में प्रसरण और मानक विचलन दो महत्वपूर्ण माप हैं। प्रसरण इस बात का माप है कि आंकड़े बिंदु माध्य से कितने भिन्न हैं, जबकि मानक विचलन सांख्यिकीय आंकड़ों के वितरण का माप है। प्रसरण और मानक विचलन के बीच मूल अंतर उनकी इकाइयों में है। मानक विचलन को आंकड़ों के माध्य के समान इकाइयों में दर्शाया जाता है, जबकि प्रसरण को वर्ग इकाइयों में दर्शाया जाता है।

यहाँ हमारा उद्देश्य प्रसरण और मानक विचलन की परिभाषाओं, उनके गुणों और अंतरों को समझना है। साथ ही, आइए यहाँ उनके दोनों मापों, सूत्रों और कुछ उदाहरणों के बारे में अधिक जानें

विचरण

साधारण भाषा में कहें तो विचरण इस बात का माप है कि आंकड़ों का एक समुच्चय अपने माध्य या औसत मान से कितनी दूर फैला हुआ है। इसे ‘ $\sigma ^{2}$ ’ के रूप में दर्शाया जाता है।

विचरण के गुण

प्रायिकता और सांख्यिकी में अध्ययन किए जाने पर यह सदैव गैर-ऋणात्मक होता है क्योंकि विचरण योग में प्रत्येक पद का वर्ग होता है और इसलिए परिणाम या तो सकारात्मक या शून्य होता है।
विचरण में प्रायः वर्ग इकाइयाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, किलोग्राम में अनुमानित भार के एक समुच्चय का विचरण किलोग्राम वर्ग में दिया जाएगा। चूँकि जनसंख्या विचरण वर्ग है, इसलिए हम इसकी तुलना सीधे माध्य या आंकड़ों से नहीं कर सकते।

मानक विचलन

सांख्यिकीय आंकड़ों के प्रसार को मानक विचलन द्वारा मापा जाता है। वितरण आंकड़ों के अपने माध्य या औसत स्थिति से विचलन को मापता है। फैलाव की डिग्री की गणना आंकड़ों बिंदुओं के विचलन का अनुमान लगाने की विधि द्वारा की जाती है। आप सारांश सांख्यिकी में फैलाव के बारे में पढ़ सकते हैं। मानक विचलन को प्रतीक, ‘ $\sigma$ ’ द्वारा दर्शाया जाता है।

मानक विचलन के गुण

यह आंकड़ों समुच्चय में सभी मानों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल का वर्णन करता है और इसे मूल-माध्य-वर्ग विचलन भी कहा जाता है।
मानक विचलन का सबसे छोटा मान $0$ है क्योंकि यह ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
जब किसी समूह के आंकड़ों मान समान होते हैं, तो मानक विचलन बहुत कम या शून्य के करीब होगा। लेकिन जब आंकड़ों मान एक दूसरे के साथ भिन्न होते हैं, तो मानक प्रसरण अधिक या शून्य से बहुत दूर होती है।

विचरण और मानक विचलन सूत्र

जैसा कि चर्चा की गई है, आंकड़ों के समुच्चय का विचरण औसत मान और प्रत्येक आंकड़ों के मूल्य के बीच औसत वर्ग दूरी है। और मानक विचलन आंकड़ों मूल्यों के माध्य के आसपास प्रसार को परिभाषित करता है।

जनसंख्या और नमूना आंकड़ों के समुच्चय दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन के सूत्र नीचे दिए गए हैं:

विचरण सूत्र

जनसंख्या विचरण सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$\sigma ^{2}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle (X_{i}-\mu )^{2}$

यहाँ,

$\sigma ^{2}=$ जनसंख्या विचरण

$N=$ जनसंख्या में प्रेक्षणों की संख्या

$Xi=$ जनसंख्या में $i$ ^th प्रेक्षण

$\mu =$ जनसंख्या माध्य

नमूना विचरण सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\textstyle {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle }\displaystyle (X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

यहाँ,

$s^{2}=$ नमूना विचरण

$n=$ नमूने में प्रेक्षणों की संख्या

$X_{i}=$ नमूने में $i$ ^th प्रेक्षण

${\bar {X}}=$ नमूना माध्य

मानक विचलन सूत्र

जनसंख्या मानक विचलन सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle (X_{i}-\mu )^{2}}}$

यहाँ,

$\sigma =$ जनसंख्या मानक विचलन

इसी प्रकार, नमूना मानक विचलन सूत्र इस प्रकार है:

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

यहाँ,

$s=$ नमूना मानक विचलन

विचरण और मानक विचलन संबंध

विचरण माध्य से औसत वर्ग विचलन के समान होता है, जबकि मानक विचलन संख्या का वर्गमूल होता है। साथ ही, मानक विचलन विचरण का वर्गमूल होता है। दोनों माप वितरण में परिवर्तनशीलता प्रदर्शित करते हैं, लेकिन उनकी इकाइयाँ भिन्न होती हैं: मानक विचलन मूल मानों के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, जबकि विचरण वर्ग इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: यदि पासा फेंका जाता है, तो प्रायिकता का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।

समाधान: जब पासा फेंका जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है। इसलिए नमूना स्थान, $n=6$ और आंकड़ों के समुच्चय $=\{{1;2;3;4;5;6}\}$ ।

विचरण ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले, हमें आंकड़ों के समुच्चय का माध्य ज्ञात करना होगा।

माध्य, ${\bar {x}}={\frac {(1+2+3+4+5+6)}{6}}=3.5$

हम आंकड़ों और माध्य का मान सूत्र में डालकर प्राप्त कर सकते हैं;

$\sigma ^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}$

$\sigma ^{2}={\frac {1}{6}}(6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25)$

$\sigma ^{2}=2.917$

उत्तर: इसलिए विचरण $\sigma ^{2}=2.917$ है, और मानक विचलन, $\sigma ={\sqrt {2.917}}=1.708$ है

@@ Line 21: / Line 21: @@
 == विचरण और मानक विचलन सूत्र ==
-जैसा कि चर्चा की गई है, आंकड़ों समुच्चय  का विचरण औसत मूल्य और प्रत्येक आंकड़ों मूल्य के बीच औसत वर्ग दूरी है। और मानक विचलन आंकड़ों मूल्यों के माध्य के आसपास प्रसार को परिभाषित करता है।
+जैसा कि चर्चा की गई है, आंकड़ों के समुच्चय  का विचरण औसत मान और प्रत्येक आंकड़ों के  मूल्य के बीच औसत वर्ग दूरी है। और मानक विचलन आंकड़ों मूल्यों के माध्य के आसपास प्रसार को परिभाषित करता है।
-जनसंख्या और नमूना आंकड़ों समुच्चय  दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन के सूत्र नीचे दिए गए हैं:
+जनसंख्या और नमूना आंकड़ों के समुच्चय  दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन के सूत्र नीचे दिए गए हैं:
 == विचरण सूत्र ==
 जनसंख्या विचरण सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
-σ2=1N∑Ni=1(Xi−μ)2
+<math>\sigma^2=\frac{1}{N}\textstyle \sum_{i=1}^N \displaystyle (X_i-\mu)^2</math>
 यहाँ,
@@ Line 42: / Line 42: @@
 नमूना विचरण सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
-s2=1n−1∑ni=1(xi−¯x)2यहाँ,
+<math>s^2=\frac{1}{n-1}\textstyle {\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle} \displaystyle(X_i-\bar{X})^2</math>
-s2 = नमूना विचरण
+यहाँ,
-n = नमूने में प्रेक्षणों की संख्या
+<math>s^2 =</math> नमूना विचरण
-xi = नमूने में ith प्रेक्षण
+<math>n =</math> नमूने में प्रेक्षणों की संख्या
-x̄ = नमूना माध्य
+<math>X_i =</math> नमूने में <math>i</math><sup>th</sup> प्रेक्षण
+<math>\bar{X}=</math> नमूना माध्य
 == मानक विचलन सूत्र ==
 जनसंख्या मानक विचलन सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
-σ=√1N∑Ni=1(Xi−μ)2
+<math>\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\textstyle \sum_{i=1}^N \displaystyle (X_i-\mu)^2}</math>
 यहाँ,
-σ = जनसंख्या मानक विचलन
+<math>\sigma =</math>जनसंख्या मानक विचलन
 इसी प्रकार, नमूना मानक विचलन सूत्र इस प्रकार है:
-s=√1n−1∑ni=1(xi−¯x)2 यहाँ,s = नमूना मानक विचलन
+<math>s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle(x_i-\bar{x})^2}</math>
+यहाँ,
+<math>s =</math> नमूना मानक विचलन
 == विचरण और मानक विचलन संबंध ==
-विचरण माध्य से औसत वर्ग विचलन के बराबर होता है, जबकि मानक विचलन संख्या का वर्गमूल होता है। साथ ही, मानक विचलन विचरण का वर्गमूल होता है। दोनों माप वितरण में परिवर्तनशीलता प्रदर्शित करते हैं, लेकिन उनकी इकाइयाँ भिन्न होती हैं: मानक विचलन मूल मानों के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, जबकि विचरण वर्ग इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
+विचरण माध्य से औसत वर्ग विचलन के समान होता है, जबकि मानक विचलन संख्या का वर्गमूल होता है। साथ ही, मानक विचलन विचरण का वर्गमूल होता है। दोनों माप वितरण में परिवर्तनशीलता प्रदर्शित करते हैं, लेकिन उनकी इकाइयाँ भिन्न होती हैं: मानक विचलन मूल मानों के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, जबकि विचरण वर्ग इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
 == उदाहरण ==
-उदाहरण 1: यदि पासा फेंका जाता है, तो संभावनाओं का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।
+'''उदाहरण''' 1: यदि पासा फेंका जाता है, तो प्रायिकता का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।
-समाधान: जब पासा फेंका जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या 6 होती है। इसलिए नमूना स्थान, n = 6 और आंकड़ों समुच्चय  = {1;2;3;4;5;6}।
+'''समाधान''': जब पासा फेंका जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या <math>6</math> होती है। इसलिए नमूना स्थान, <math>n = 6</math> और आंकड़ों के समुच्चय <math>= \{{1;2;3;4;5;6}\}</math>।
-विचरण ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले, हमें आंकड़ों समुच्चय  का माध्य निकालना होगा।
+विचरण ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले, हमें आंकड़ों के समुच्चय  का माध्य ज्ञात करना होगा।
-माध्य, x̅ = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
+माध्य, <math>\bar{x} =\frac{ (1+2+3+4+5+6)}{6} = 3.5</math>
 हम आंकड़ों और माध्य का मान सूत्र में डालकर प्राप्त कर सकते हैं;
-σ2 = Σ (xi – x̅)2/n
+<math>\sigma^2 = \sum \frac{(x_i -\bar{x})^2}{n}</math>
-σ2 = ⅙ (6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25)
+<math>\sigma^2 = \frac{1}{6}(6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25)</math>
-σ2 = 2.917
+<math>\sigma^2 = 2.917</math>
-उत्तर: इसलिए विचरण σ2 = 2.917 है, और मानक विचलन, σ = √2.917 = 1.708 है
+'''उत्तर''': इसलिए विचरण <math>\sigma^2 = 2.917</math> है, और मानक विचलन,<math>\sigma = \sqrt{2.917} = 1.708</math> है
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