सममित तथा विषम सममित आव्यूह: Difference between revisions

(9 intermediate revisions by the same user not shown)

Line 1:

सममित ~~मैट्रिक्स~~

== सममित आव्यूह ==

सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जो इसके ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के बराबर होता है। किसी भी दिए गए मैट्रिक्स A का ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स AT के रूप में ~~दिया जा सकता है। इसलिए~~, एक सममित ~~मैट्रिक्स A~~, ~~A = AT की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार~~ के मैट्रिसेस में से, सममित मैट्रिक्स सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में ~~व्यापक रूप से किया जाता है।~~

इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों के बारे में जानें।

~~इस लेख~~ में~~, आइए~~ सममित ~~मैट्रिक्स~~, ~~उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों~~ के ~~साथ गुणों के बारे में जानें।~~

=== परिभाषा ===

रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग [[आव्यूह]] है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त <math>B</math> आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

~~== परिभाषा ==~~

एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = B</math> है। दिए गए आव्यूह <math>B</math> पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।

~~रैखिक बीजगणित में सममित मैट्रिक्स~~ एक वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ है ~~जो तब अपरिवर्तित रहता~~ है ~~जब इसका ट्रांसपोज़ की गणना की जाती~~ है। ~~इसका मतलब है~~, एक ~~मैट्रिक्स जिसका ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स~~ के बराबर ~~होता~~ है, ~~उसे~~ सममित ~~मैट्रिक्स~~ कहा जाता है। ~~इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:~~

~~एक वर्ग मैट्रिक्स~~ B ~~जिसका आकार~~ n × n ~~है, उसे~~ सममित माना जाता है यदि और केवल यदि BT = B है। दिए गए मैट्रिक्स B पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग मैट्रिक्स जो उस मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़्ड रूप के बराबर है, ~~जिसे सममित मैट्रिक्स कहा जाता है।~~

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि <math>B =[b_{ij}]_{n\times n}</math> सममित आव्यूह है, तो

~~इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि B~~ =

[

सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए या <math>1 \leq i \leq n,</math>और <math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ,

b

* <math>n</math> कोई भी [[प्राकृतिक संख्याएँ|प्राकृतिक संख्या]] है।

* <math>b_{ij}</math> स्थिति <math>(i, j)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>i</math>वीं पंक्ति और <math>j</math>वां स्तंभ है, और

* <math>b_{ji}</math> स्थिति<math>(j, i)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>j</math>वीं पंक्ति और <math>i</math>वां स्तंभ है।

i

=== सममित आव्यूह उदाहरण ===

आइए आव्यूह <math>B</math> का एक उदाहरण लेते हैं,

j

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = B</math>। उदाहरण के लिए,<math>b_{12} = b_{21} = 3,</math>और <math>b_{13} = b_{31} = 6,</math>. इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

]

<math>B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3&4 & 5 \\ 6&5&9 \end{bmatrix}</math>

n

<math>B^T=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3&4 & 5 \\ 6&5&9 \end{bmatrix}</math>

×

'''2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}</math>

n

'''3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण :''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2&1 & 3 \\ -1&3&0 \end{bmatrix}</math>

सममित ~~मैट्रिक्स है, तो~~

'''4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1&5 \\ 2&1 & 3&0 \\ -1&3&0&4 \\ 5&0&4&2 \end{bmatrix}</math>

b

=== सममित आव्यूह के गुणधर्म ===

यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म दिए गए हैं।

i

* दो सममित आव्यूह का योग और अंतर परिणामी को सममित आव्यूह के रूप में देता है।

* ऊपर वर्णित गुणधर्म सदैव गुणनफल के लिए सत्य नहीं होता है: सममित आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> दिए गए हैं, तो <math>AB</math> सममित है यदि और केवल यदि <math>A</math> और <math>B</math> गुणधर्म न के विनिमेय गुणधर्म का पालन करते हैं, अर्थात, यदि <math>AB = BA</math> है।

* [[पूर्णांक]] <math>n</math> के लिए, यदि <math>A</math> सममित है, तो <math>\Rightarrow A^n </math> सममित है।

* एक सममित आव्यूह के आइगेन मान(आइजेनवैल्यू) सदैव वास्तविक और सकारात्मक होते हैं।

* एक सममित आव्यूह के लिए आव्यूह का निर्धारक और उसका परिवर्त समान होता है।

* एक सममित आव्यूह का सहायक सममित होता है।

* सममित आव्यूह का प्रतिलोम सममित होता है।

j

=== सममित आव्यूह प्रमेय ===

सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

=

'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।

b

j

i

~~सभी i और j के लिए या~~ 1 ~~≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n। यहाँ,~~

~~n कोई भी प्राकृतिक संख्या है।~~

b

i

j

~~स्थिति (i, j) पर एक तत्व है जो मैट्रिक्स B में iवीं पंक्ति और jवां स्तंभ है और~~

b

j

i

~~स्थिति (j, i) पर एक तत्व है जो मैट्रिक्स B में jवीं पंक्ति और iवां स्तंभ है।~~

~~== सममित मैट्रिक्स उदाहरण ==~~

~~आइए मैट्रिक्स B का एक उदाहरण लेते हैं,~~

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, BT = B. उदाहरण के लिए, b12 = b21 = 3, और b13 = b31 = 6. इस प्रकार, B एक सममित मैट्रिक्स है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित मैट्रिक्स के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

~~== सममित मैट्रिक्स के गुण ==~~

~~यहाँ सममित मैट्रिक्स के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं।~~

दो सममित मैट्रिक्स का योग और अंतर परिणामी को सममित मैट्रिक्स के रूप में देता है।

~~ऊपर वर्णित गुण हमेशा उत्पाद के लिए सत्य नहीं होता है~~: सममित मैट्रिक्स A और B दिए गए हैं, तो AB सममित है यदि और केवल यदि A और B गुणन के विनिमेय गुण का पालन करते हैं, अर्थात, यदि AB = BA है।

~~पूर्णांक n के लिए, यदि A सममित है, तो ⇒ An सममित है।~~

~~एक सममित मैट्रिक्स के आइगेन मान हमेशा~~ वास्तविक ~~और सकारात्मक होते हैं।~~

एक सममित मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स का निर्धारक और उसका ट्रांसपोज़ समान होता है।

~~एक सममित मैट्रिक्स का सहायक सममित होता है।~~

~~सममित मैट्रिक्स का व्युत्क्रम सममित होता है।~~

~~== सममित मैट्रिक्स प्रमेय ==~~

सममित मैट्रिक्स से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

~~प्रमेय 1:~~ वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ B के लिए, B + BT एक सममित ~~मैट्रिक्स~~ है, और B - BT एक ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ है।

उपाय:

मान लें A = B + ~~BT.~~

मान लें <math>A = B + B^T</math>।

एक ~~ट्रांसपोज़~~ लेते हुए, AT = (B + BT)T = BT + (BT)T = BT + B = B + BT = A

एक परिवर्त लेते हुए, <math>A^T = (B + B^T)^T = BT + (B^T)^T = B^T + B = B + B^T = A</math>

इसका अर्थ है B + BT एक सममित ~~मैट्रिक्स~~ है।

इसका अर्थ है <math> B + B^T

</math> एक सममित आव्यूह है।

इसके बाद, मान लें C = B - BT

इसके बाद, मान लें <math>C = B - B^T</math>

CT = (B + (- BT))T = BT + (- BT)T = BT - (BT)T = BT- B = - (B - BT) = - C

इसका अर्थ है B - BT एक ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ है।

इसका अर्थ है <math> B - B^T</math> एक विषम-सममित आव्यूह है।

प्रमेय 2: किसी भी वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ को ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ और सममित ~~मैट्रिक्स~~ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सममित और ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ का योग ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:

'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम -सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सममित और विषम -सममित आव्यूह का योग ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:

मान लें कि B एक वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ है। फिर,

मान लें कि <math>B</math> एक वर्ग आव्यूह है। फिर,

B = (1/2) × (B + BT) + (1/2 ) × (B - BT)। यहाँ, BT वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ B का ~~ट्रांसपोज़~~ है।

<math>B = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math>। यहाँ, <math>B^T</math> वर्ग आव्यूह <math>B</math> का परिवर्त है।

यदि B + BT एक सममित ~~मैट्रिक्स~~ है, तो (1/2) × (B + BT) भी एक सममित ~~मैट्रिक्स~~ है

यदि <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T)</math> भी एक सममित आव्यूह है

यदि B - BT एक ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ है, तो (1/2 ) × (B - BT) भी एक ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ है

यदि <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math> भी एक विषम -सममित आव्यूह है

इस प्रकार, किसी भी वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ को ~~तिरछा~~-सममित ~~मैट्रिक्स~~ और सममित ~~मैट्रिक्स~~ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम -सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

~~'''Example:''' Express the following matrix as the sum of a symmetric and skew symmetric matrix~~:

=== उदाहरण ===

निम्नलिखित आव्यूह को सममित और विषम -सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त करें:

B=~~⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦~~

<math>B=\begin{bmatrix} 1 & -1 &4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix}</math>

'''~~Solution:~~'''

'''समाधान''':

~~Since any matrix can be represented as a sum of a symmetric matrix and a skew symmetric matrix~~, ~~we can therefore express matrix~~ B as,

चूँकि किसी भी आव्यूह को सममित आव्यूह और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए हम आव्यूह <math>B</math> को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं,

B = (1/2) × (B + B~~~~T~~~~) + (1/2 ) × (B - B<~~sup~~>T<~~/sup~~>~~), where~~ (1/2) × (B + B<~~sup~~>T<~~/sup~~>~~) is a symmetric matrix and~~ (1/2) × (B - B~~~~T</~~sup~~>~~) is a skew symmetric matrix.~~

<math>B = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T),</math> जहाँ <math> \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T)</math> एक सममित आव्यूह है और <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

⇒ (1/2) × (B + B~~~~T~~~~) = (1/2) ~~⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦~~ + ~~⎡⎢⎣124−113430⎤⎥⎦~~ = (1/2)~~⎡⎢⎣218126860⎤⎥⎦~~ = ~~⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦~~

<math>\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1& 2&4\\ -1 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 2 & 1&8 \\ 1 & 2&6 \\ 8&6&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}</math>

~~Similarly~~, ~~(1/2) × (B -BT) = (1/2) ⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ - ⎡⎢⎣124−113430⎤⎥⎦ = (1/2)⎡⎢⎣0−30300000⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦~~

इसी प्रकार,

~~∴ Matrix~~ B ~~can be expressed as a sum of symmetric matrix and skew symmetric matrix as,~~

<math>\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T) =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1& 2&4\\ -1 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 0 & -3&0 \\ 3 & 0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math>

B~~=⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦ + ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦~~

∴ आव्यूह <math>B</math> को सममित आव्यूह और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

~~Here, ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦ is a symmetric matrix and ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦ is a skew symmetric matrix.~~

<math>B=\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math>

यहाँ, <math>\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}</math> एक सममित आव्यूह है तथा <math>\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

== ~~तिरछा~~ सममित ~~मैट्रिक्स~~ ==

=== सममित आव्यूह पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ===

गणित में, तिरछा सममित मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित ~~मैट्रिक्स~~ का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।

यहाँ कुछ टिप्पणिओं की सूची दी गई है जिन्हें सममित आव्यूह का अध्ययन करते समय याद रखना चाहिए।

~~आइए निम्नलिखित अनुभागों में हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके तिरछा~~ सममित ~~मैट्रिक्स~~, ~~उनकी परिभाषाओं और गुणों~~ के ~~बारे~~ में ~~जानें।~~

* एक वर्ग आव्यूह जो अपने स्वयं के ट्रांसपोज़्ड रूप के समान होता है उसे सममित आव्यूह कहा जाता है।

* चूँकि एक वर्ग विकर्ण आव्यूह के सभी अविकर्ण तत्व शून्य होते हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग विकर्ण आव्यूह सममित होता है।

* दो सममित आव्यूह का योग परिणाम के रूप में एक सममित आव्यूह देता है।

~~तिरछा सममित मैट्रिक्स क्या है?~~

तिरछा सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जो इसके ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर होता है। तिरछा सममित मैट्रिक्स को बेहतर ढंग से समझने के लिए मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ खोजने की विधि जानना महत्वपूर्ण है। यहाँ, हमने एक मैट्रिक्स A पर विचार किया है। तिरछा सममित मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने वाला मूल सूत्र इस प्रकार है।

B = -BT

== विषम सममित आव्यूह ==

गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग आव्यूह, <math>A</math> के लिए, परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक विषम-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह <math>A</math> को <math>A = -A^T</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है। विषम-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।

आइए निम्नलिखित अनुभागों में हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके विषम सममित आव्यूह, उनकी परिभाषाओं और गुणधर्मों के बारे में जानें।

=== परिभाषा ===

विषम सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के समान होता है। विषम सममित आव्यूह को बेहतर ढंग से समझने के लिए आव्यूह का परिवर्त ज्ञात करने की विधि जानना महत्वपूर्ण है। यहाँ, हमने एक आव्यूह <math>A</math> पर विचार किया है। विषम सममित आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने वाला मूल सूत्र इस प्रकार है।

~~परिभाषा~~

एक वर्ग आव्यूह <math>B</math> जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे विषम सममित आव्यूह माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = -B</math> है। यही है, एक विषम सममित या प्रतिसममित आव्यूह का ट्रांसपोज़्ड रूप जो उस आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर है। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

~~एक वर्ग मैट्रिक्स~~ B ~~जिसका आकार n × n है, उसे तिरछा सममित मैट्रिक्स माना जाता है यदि और केवल यदि BT~~ = -B है। यही है, एक तिरछा सममित या प्रतिसममित मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़्ड रूप जो उस मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर है। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यदि B =

यदि <math>B =[b_{ij}]_{n\times n}</math> विषम सममित आव्यूह है, तो सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए <math>b_{ij}=-b_{ji}</math> या <math>1 \leq i \leq n,</math>, और<math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ, <math>n</math> कोई भी प्राकृतिक संख्या है। यदि हम <math>i = j</math> रखते हैं, तो सभी <math>i</math> के लिए <math>b_{ii}=0</math>। इसका अर्थ है कि विषम-सममित आव्यूह में विकर्ण रूप से उपस्थित सभी तत्व शून्य हैं।

[

=== विषम सममित आव्यूह उदाहरण ===

आइए आव्यूह <math>B</math> का उदाहरण लेते हैं,

b

<math>B=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>

i

<math>B^T=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>

j

<math>-B=-\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>

]

<math>-B=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>

n

×

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = -B</math> , <math>b_{12} =-b_{21},</math> और <math>b_{11} = b_{22} = 0</math> । इस प्रकार, <math>B</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

n

=== विषम सममित आव्यूह से संबंधित प्रमेय ===

विषम सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

~~तिरछा सममित मैट्रिक्स है, तो~~

'''प्रमेय 1''': वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math>A - A^T</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

b

i

j

~~= -~~

b

j

i

सभी i और j के लिए या 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n। यहाँ, n कोई भी प्राकृतिक संख्या है। यदि हम i = j रखते हैं, तो

b

i

= 0 सभी i के लिए। इसका मतलब है कि तिरछा-सममित मैट्रिक्स में विकर्ण रूप से मौजूद सभी तत्व शून्य हैं।

~~तिरछा सममित मैट्रिक्स उदाहरण:~~

~~आइए मैट्रिक्स B का उदाहरण लेते हैं,~~

~~== तिरछा सममित मैट्रिक्स के गुण ==~~

किसी मैट्रिक्स के तिरछा सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग मैट्रिक्स होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ तिरछा सममित मैट्रिक्स के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं,

जब दो तिरछा सममित मैट्रिक्स जोड़े जाते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स हमेशा एक तिरछा सममित मैट्रिक्स होगा। दो तिरछा सममित मैट्रिक्स A और B पर विचार करें जैसे कि AT = -A, और BT = -B, तो हमारे पास (A + B)T = -(A + B) है

तिरछा सममित मैट्रिक्स का ट्रेस शून्य के बराबर होता है यानी मुख्य विकर्ण में सभी तत्वों का योग भी शून्य के बराबर होता है।

एक वास्तविक तिरछा सममित मैट्रिक्स A का वास्तविक आइजेनवैल्यू, λ शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि तिरछा सममित मैट्रिक्स के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।

जब किसी स्केलर या वास्तविक संख्या को तिरछा-सममित मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स भी तिरछा-सममित मैट्रिक्स होगा। एक स्केलर मान k पर विचार करें, B एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है, तो परिणामी मैट्रिक्स भी एक तिरछा सममित मैट्रिक्स है। (kB)T = -kB.

किसी भी वास्तविक तिरछा सममित मैट्रिक्स A के लिए, I + A मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान मैट्रिक्स है।

किसी भी वास्तविक तिरछा सममित मैट्रिक्स A के लिए, A2 एक सममित नकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स है।

~~== तिरछा सममित मैट्रिक्स से संबंधित प्रमेय ==~~

तिरछा सममित मैट्रिक्स से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग ~~मैट्रिक्स~~ A के लिए, A + AT एक सममित ~~मैट्रिक्स~~ है, और A - AT एक ~~तिरछा~~ सममित ~~मैट्रिक्स~~ है।

उपाय:

मान लें P = A + ~~AT.~~

मान लें <math>P = A + A^T</math>

~~P का ट्रांसपोज़ इस प्रकार दिया जा सकता है, PT = (~~A ~~+ AT)~~T ~~= AT + (AT)T = AT + A = A + AT = P~~

⇒ A + ~~AT एक सममित मैट्रिक्स है।~~

<math>P</math> का परिवर्त इस प्रकार दिया जा सकता है, <math>P^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T = P</math>

~~इसके बाद, हम Q =~~ A ~~- AT~~

<math>\Rightarrow A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है।

QT = (A ~~+ (~~-~~AT))~~T ~~= AT + (-AT)T = AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT) = -Q~~

इसके बाद, हम <math>Q = A - A^T</math>

⇒ A - ~~AT एक तिरछा सममित मैट्रिक्स है।~~

~~प्रमेय 2: किसी भी वर्ग मैट्रिक्स~~ A ~~को सममित मैट्रिक्स, S और तिरछा~~ सममित ~~मैट्रिक्स, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,~~

<math>\Rightarrow A - A^T</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

~~A = (1/~~2~~) × (~~A ~~+ AT) + (1~~/~~2 ) × (A - AT)। यहाँ~~, ~~AT वर्ग मैट्रिक्स A का ट्रांसपोज़ है।~~

'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> को सममित आव्यूह, S और विषम सममित आव्यूह, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,

@@ Line 1: / Line 1: @@
-सममित मैट्रिक्स
+== सममित आव्यूह ==
+सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।
-एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जो इसके ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के बराबर होता है। किसी भी दिए गए मैट्रिक्स A का ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स AT के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित मैट्रिक्स A, A = AT की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित मैट्रिक्स सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।
+इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों  के बारे में जानें।
-इस लेख में, आइए सममित मैट्रिक्स, उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणों के बारे में जानें।
+=== परिभाषा ===
+रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग [[आव्यूह]] है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त <math>B</math> आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
-== परिभाषा ==
+एक वर्ग आव्यूह  जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = B</math> है। दिए गए आव्यूह <math>B</math> पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।
-रैखिक बीजगणित में सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका ट्रांसपोज़ की गणना की जाती है। इसका मतलब है, एक मैट्रिक्स जिसका ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के बराबर होता है, उसे सममित मैट्रिक्स कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
-एक वर्ग मैट्रिक्स B जिसका आकार n × n है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि BT = B है। दिए गए मैट्रिक्स B पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग मैट्रिक्स जो उस मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़्ड रूप के बराबर है, जिसे सममित मैट्रिक्स कहा जाता है।
+इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि <math>B =[b_{ij}]_{n\times n}</math> सममित आव्यूह है, तो
-इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि B =
+<math>b_{ij}=b_{ji}</math>
-[
+सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए या <math>1 \leq i \leq n,</math>और <math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ,
-b
+* <math>n</math> कोई भी [[प्राकृतिक संख्याएँ|प्राकृतिक संख्या]] है।
+* <math>b_{ij}</math> स्थिति <math>(i, j)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>i</math>वीं पंक्ति और <math>j</math>वां स्तंभ है, और
+* <math>b_{ji}</math> स्थिति<math>(j, i)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>j</math>वीं पंक्ति और <math>i</math>वां स्तंभ है।
-i
+=== सममित आव्यूह उदाहरण ===
+आइए आव्यूह <math>B</math> का एक उदाहरण लेते हैं,
-j
+यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = B</math>। उदाहरण के लिए,<math>b_{12} = b_{21} = 3,</math>और <math>b_{13} = b_{31} = 6,</math>. इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।
-]
+<math>B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 6  \\ 3&4 & 5 \\ 6&5&9 \end{bmatrix}</math>
-n
+<math>B^T=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 6  \\ 3&4 & 5 \\ 6&5&9 \end{bmatrix}</math>
-×
+'''2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण:'''  <math>B=\begin{bmatrix} 1  & -2  \\ -2 & 0 \end{bmatrix}</math>
-n
+'''3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण :''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1  \\ 2&1 & 3 \\ -1&3&0 \end{bmatrix}</math>
-सममित मैट्रिक्स है, तो
+'''4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1&5  \\ 2&1 & 3&0 \\ -1&3&0&4 \\ 5&0&4&2 \end{bmatrix}</math>
-b
+=== सममित आव्यूह के गुणधर्म ===
+यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म  दिए गए हैं।
-i
+* दो सममित आव्यूह का योग और अंतर परिणामी को सममित आव्यूह के रूप में देता है।
+* ऊपर वर्णित गुणधर्म  सदैव गुणनफल के लिए सत्य नहीं होता है: सममित आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> दिए गए हैं, तो <math>AB</math> सममित है यदि और केवल यदि <math>A</math> और <math>B</math> गुणधर्म न के विनिमेय गुणधर्म  का पालन करते हैं, अर्थात, यदि <math>AB = BA</math> है।
+* [[पूर्णांक]] <math>n</math> के लिए, यदि <math>A</math> सममित है, तो <math>\Rightarrow A^n </math> सममित है।
+* एक सममित आव्यूह के आइगेन मान(आइजेनवैल्यू) सदैव वास्तविक और सकारात्मक होते हैं।
+* एक सममित आव्यूह के लिए आव्यूह का निर्धारक और उसका परिवर्त समान होता है।
+* एक सममित आव्यूह का सहायक सममित होता है।
+* सममित आव्यूह का प्रतिलोम सममित होता है।
-j
+=== सममित आव्यूह प्रमेय ===
+सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-=
+'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।
-b
-j
-i
-सभी i और j के लिए या 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n। यहाँ,
-n कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
-b
-i
-j
-स्थिति (i, j) पर एक तत्व है जो मैट्रिक्स B में iवीं पंक्ति और jवां स्तंभ है और
-b
-j
-i
-स्थिति (j, i) पर एक तत्व है जो मैट्रिक्स B में jवीं पंक्ति और iवां स्तंभ है।
-== सममित मैट्रिक्स उदाहरण ==
-आइए मैट्रिक्स B का एक उदाहरण लेते हैं,
-यहाँ, हम देख सकते हैं कि, BT = B. उदाहरण के लिए, b12 = b21 = 3, और b13 = b31 = 6. इस प्रकार, B एक सममित मैट्रिक्स है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित मैट्रिक्स के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।
-== सममित मैट्रिक्स के गुण ==
-यहाँ सममित मैट्रिक्स के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं।
-दो सममित मैट्रिक्स का योग और अंतर परिणामी को सममित मैट्रिक्स के रूप में देता है।
-ऊपर वर्णित गुण हमेशा उत्पाद के लिए सत्य नहीं होता है: सममित मैट्रिक्स A और B दिए गए हैं, तो AB सममित है यदि और केवल यदि A और B गुणन के विनिमेय गुण का पालन करते हैं, अर्थात, यदि AB = BA है।
-पूर्णांक n के लिए, यदि A सममित है, तो ⇒ An सममित है।
-एक सममित मैट्रिक्स के आइगेन मान हमेशा वास्तविक और सकारात्मक होते हैं।
-एक सममित मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स का निर्धारक और उसका ट्रांसपोज़ समान होता है।
-एक सममित मैट्रिक्स का सहायक सममित होता है।
-सममित मैट्रिक्स का व्युत्क्रम सममित होता है।
-== सममित मैट्रिक्स प्रमेय ==
-सममित मैट्रिक्स से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग मैट्रिक्स B के लिए, B + BT एक सममित मैट्रिक्स है, और B - BT एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है।
 उपाय:
-मान लें A = B + BT.
+मान लें <math>A = B + B^T</math>।
-एक ट्रांसपोज़ लेते हुए, AT = (B + BT)T = BT + (BT)T = BT + B = B + BT = A
+एक परिवर्त लेते हुए, <math>A^T = (B + B^T)^T = BT + (B^T)^T = B^T + B = B + B^T = A</math>
-इसका अर्थ है B + BT एक सममित मैट्रिक्स है।
+इसका अर्थ है <math> B + B^T
+</math> एक सममित आव्यूह है।
-इसके बाद, मान लें C = B - BT
+इसके बाद, मान लें <math>C = B - B^T</math>
-CT = (B + (- BT))T = BT + (- BT)T = BT - (BT)T = BT- B = - (B - BT) = - C
+<math>C^T = (B + (- B^T))^T = BT + (- B^T)^T = BT - (B^T)^T = B^T- B = - (B - B^T) = - C</math>
-इसका अर्थ है B - BT एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है।
+इसका अर्थ है <math> B - B^T</math> एक विषम-सममित आव्यूह है।
-प्रमेय 2: किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को तिरछा-सममित मैट्रिक्स और सममित मैट्रिक्स के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सममित और तिरछा-सममित मैट्रिक्स का योग ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
+'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम -सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सममित और विषम -सममित आव्यूह का योग ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
-मान लें कि B एक वर्ग मैट्रिक्स है। फिर,
+मान लें कि <math>B</math> एक वर्ग आव्यूह है। फिर,
-B = (1/2) × (B + BT) + (1/2 ) × (B - BT)। यहाँ, BT वर्ग मैट्रिक्स B का ट्रांसपोज़ है।
+<math>B = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math>। यहाँ, <math>B^T</math> वर्ग आव्यूह <math>B</math> का परिवर्त है।
-यदि B + BT एक सममित मैट्रिक्स है, तो (1/2) × (B + BT) भी एक सममित मैट्रिक्स है
+यदि <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T)</math> भी एक सममित आव्यूह है
-यदि B - BT एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है, तो (1/2 ) × (B - BT) भी एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है
+यदि <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math> भी एक विषम -सममित आव्यूह है
-इस प्रकार, किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को तिरछा-सममित मैट्रिक्स और सममित मैट्रिक्स के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम -सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-'''Example:''' Express the following matrix as the sum of a symmetric and skew symmetric matrix:
+=== उदाहरण ===
+निम्नलिखित आव्यूह को सममित और विषम -सममित आव्यूह  के योग के रूप में व्यक्त करें:
-B=⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦
+<math>B=\begin{bmatrix} 1 & -1 &4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix}</math>
-'''Solution:'''
+'''समाधान''':
-Since any matrix can be represented as a sum of a symmetric matrix and a skew symmetric matrix, we can therefore express matrix B as,
+चूँकि किसी भी आव्यूह को सममित आव्यूह और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए हम आव्यूह <math>B</math>  को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं,
-B = (1/2) × (B + B<sup>T</sup>) + (1/2 ) × (B - B<sup>T</sup>), where (1/2) × (B + B<sup>T</sup>) is a symmetric matrix and (1/2) × (B - B<sup>T</sup>) is a skew symmetric matrix.
+<math>B = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T),</math> जहाँ  <math> \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T)</math> एक सममित आव्यूह है और <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T)</math> एक विषम सममित आव्यूह है।
-⇒ (1/2) × (B + B<sup>T</sup>) = (1/2) ⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ + ⎡⎢⎣124−113430⎤⎥⎦ = (1/2)⎡⎢⎣218126860⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦
+<math>\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B + B^T) =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1& 2&4\\ -1 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 2 & 1&8 \\ 1 & 2&6 \\ 8&6&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}</math>
-Similarly, (1/2) × (B -B<sup>T</sup>) = (1/2) ⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ - ⎡⎢⎣124−113430⎤⎥⎦ = (1/2)⎡⎢⎣0−30300000⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦
+इसी प्रकार,
-∴ Matrix B can be expressed as a sum of symmetric matrix and skew symmetric matrix as,
+<math>\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (B - B^T) =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1& 2&4\\ -1 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} =\left ( \frac{1}{2} \right )\begin{bmatrix} 0 & -3&0 \\ 3 & 0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math>
-B=⎡⎢⎣1−14213430⎤⎥⎦ = ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦ + ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦
+∴ आव्यूह <math>B</math>  को सममित आव्यूह और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,
-Here, ⎡⎢ ⎢⎣11241213430⎤⎥ ⎥⎦ is a symmetric matrix and ⎡⎢ ⎢⎣0−3203200000⎤⎥ ⎥⎦ is a skew symmetric matrix.
+<math>B=\begin{bmatrix} 1 & -1&4 \\ 2 & 1&3 \\ 4&3&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math>
+यहाँ, <math>\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2}&4 \\ \frac{1}{2}&1&3 \\ 4&3&0\end{bmatrix}</math> एक सममित आव्यूह है तथा <math>\begin{bmatrix} 0&\frac{-3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&0&0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}</math> एक विषम सममित आव्यूह है।
-== तिरछा सममित मैट्रिक्स ==
+=== सममित आव्यूह  पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ===
-गणित में, तिरछा सममित मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित मैट्रिक्स का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।
+यहाँ कुछ टिप्पणिओं की सूची दी गई है जिन्हें सममित आव्यूह का अध्ययन करते समय याद रखना चाहिए।
-आइए निम्नलिखित अनुभागों में हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके तिरछा सममित मैट्रिक्स, उनकी परिभाषाओं और गुणों के बारे में जानें।
+* एक वर्ग आव्यूह जो अपने स्वयं के ट्रांसपोज़्ड रूप के समान होता है उसे सममित आव्यूह कहा जाता है।
+* चूँकि एक वर्ग विकर्ण आव्यूह के सभी अविकर्ण तत्व शून्य होते हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग विकर्ण आव्यूह सममित होता है।
+* दो सममित आव्यूह का योग परिणाम के रूप में एक सममित आव्यूह देता है।
-तिरछा सममित मैट्रिक्स क्या है?
-तिरछा सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जो इसके ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर होता है। तिरछा सममित मैट्रिक्स को बेहतर ढंग से समझने के लिए मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ खोजने की विधि जानना महत्वपूर्ण है। यहाँ, हमने एक मैट्रिक्स A पर विचार किया है। तिरछा सममित मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने वाला मूल सूत्र इस प्रकार है।
-B = -BT
+== विषम सममित आव्यूह ==
+गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग आव्यूह, <math>A</math> के लिए, परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक विषम-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह <math>A</math> को <math>A = -A^T</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है। विषम-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।
+आइए निम्नलिखित अनुभागों में हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके विषम सममित आव्यूह, उनकी परिभाषाओं और गुणधर्मों  के बारे में जानें।
+=== परिभाषा ===
+विषम सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के समान होता है। विषम सममित आव्यूह को बेहतर ढंग से समझने के लिए आव्यूह का परिवर्त ज्ञात करने की विधि जानना महत्वपूर्ण है। यहाँ, हमने एक आव्यूह <math>A</math> पर विचार किया है। विषम सममित आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने वाला मूल सूत्र इस प्रकार है।
-परिभाषा
+एक वर्ग आव्यूह <math>B</math>  जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे विषम सममित आव्यूह माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = -B</math> है। यही है, एक विषम  सममित या प्रतिसममित आव्यूह का ट्रांसपोज़्ड रूप जो उस आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर है। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
-एक वर्ग मैट्रिक्स B जिसका आकार n × n है, उसे तिरछा सममित मैट्रिक्स माना जाता है यदि और केवल यदि BT = -B है। यही है, एक तिरछा सममित या प्रतिसममित मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़्ड रूप जो उस मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर है। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
+<math>B = -B^T</math>
-यदि B =
+यदि  <math>B =[b_{ij}]_{n\times n}</math> विषम सममित आव्यूह है, तो  सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए <math>b_{ij}=-b_{ji}</math> या <math>1 \leq i \leq n,</math>, और<math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ, <math>n</math> कोई भी प्राकृतिक संख्या है। यदि हम <math>i = j</math> रखते हैं, तो सभी <math>i</math> के लिए <math>b_{ii}=0</math>। इसका अर्थ है कि विषम-सममित आव्यूह में विकर्ण रूप से उपस्थित सभी तत्व शून्य हैं।
-[
+=== विषम सममित आव्यूह उदाहरण ===
+आइए आव्यूह <math>B</math> का उदाहरण लेते हैं,
-b
+<math>B=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-i
+<math>B^T=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-j
+<math>-B=-\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-]
+<math>-B=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-n
-×
+यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = -B</math> , <math>b_{12} =-b_{21},</math> और  <math>b_{11} = b_{22} = 0</math> । इस प्रकार, <math>B</math> एक विषम सममित आव्यूह है।
-n
+=== विषम सममित आव्यूह से संबंधित प्रमेय ===
+विषम  सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-तिरछा सममित मैट्रिक्स है, तो
+'''प्रमेय 1''': वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math>A - A^T</math> एक विषम  सममित आव्यूह है।
-b
-i
-j
-= -
-b
-j
-i
-सभी i और j के लिए या 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n। यहाँ, n कोई भी प्राकृतिक संख्या है। यदि हम i = j रखते हैं, तो
-b
-i
-i
-= 0 सभी i के लिए। इसका मतलब है कि तिरछा-सममित मैट्रिक्स में विकर्ण रूप से मौजूद सभी तत्व शून्य हैं।
-तिरछा सममित मैट्रिक्स उदाहरण:
-आइए मैट्रिक्स B का उदाहरण लेते हैं,
-== तिरछा सममित मैट्रिक्स के गुण ==
-किसी मैट्रिक्स के तिरछा सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग मैट्रिक्स होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ तिरछा सममित मैट्रिक्स के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं,
-जब दो तिरछा सममित मैट्रिक्स जोड़े जाते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स हमेशा एक तिरछा सममित मैट्रिक्स होगा। दो तिरछा सममित मैट्रिक्स A और B पर विचार करें जैसे कि AT = -A, और BT = -B, तो हमारे पास (A + B)T = -(A + B) है
-तिरछा सममित मैट्रिक्स का ट्रेस शून्य के बराबर होता है यानी मुख्य विकर्ण में सभी तत्वों का योग भी शून्य के बराबर होता है।
-एक वास्तविक तिरछा सममित मैट्रिक्स A का वास्तविक आइजेनवैल्यू, λ शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि तिरछा सममित मैट्रिक्स के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।
-जब किसी स्केलर या वास्तविक संख्या को तिरछा-सममित मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स भी तिरछा-सममित मैट्रिक्स होगा। एक स्केलर मान k पर विचार करें, B एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है, तो परिणामी मैट्रिक्स भी एक तिरछा सममित मैट्रिक्स है। (kB)T = -kB.
-किसी भी वास्तविक तिरछा सममित मैट्रिक्स A के लिए, I + A मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान मैट्रिक्स है।
-किसी भी वास्तविक तिरछा सममित मैट्रिक्स A के लिए, A2 एक सममित नकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स है।
-== तिरछा सममित मैट्रिक्स से संबंधित प्रमेय ==
-तिरछा सममित मैट्रिक्स से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग मैट्रिक्स A के लिए, A + AT एक सममित मैट्रिक्स है, और A - AT एक तिरछा सममित मैट्रिक्स है।
 उपाय:
-मान लें P = A + AT.
+मान लें  <math>P = A + A^T</math>
-P का ट्रांसपोज़ इस प्रकार दिया जा सकता है, PT = (A + AT)T = AT + (AT)T = AT + A = A + AT = P
-⇒ A + AT एक सममित मैट्रिक्स है।
+<math>P</math> का परिवर्त इस प्रकार दिया जा सकता है, <math>P^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T = P</math>
-इसके बाद, हम Q = A - AT
+<math>\Rightarrow A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है।
-QT = (A + (-AT))T = AT + (-AT)T = AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT) = -Q
+इसके बाद, हम <math>Q = A - A^T</math>
-⇒ A - AT एक तिरछा सममित मैट्रिक्स है।
+<math>Q^T = (A + (-A^T))^T = A^T + (-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -Q</math>
-प्रमेय 2: किसी भी वर्ग मैट्रिक्स A को सममित मैट्रिक्स, S और तिरछा सममित मैट्रिक्स, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,
+<math>\Rightarrow A - A^T</math> एक विषम  सममित आव्यूह है।
-A = (1/2) × (A + AT) + (1/2 ) × (A - AT)। यहाँ, AT वर्ग मैट्रिक्स A का ट्रांसपोज़ है।
+'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> को सममित आव्यूह, S और विषम  सममित आव्यूह, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,