सममित तथा विषम सममित आव्यूह: Difference between revisions

Latest revision as of 17:54, 28 November 2024

सममित आव्यूह

सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{T}$ के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह $A,A=A^{T}$ की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों के बारे में जानें।

परिभाषा

रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त $B$ आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार $n\times n$ है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि $B^{T}=B$ है। दिए गए आव्यूह $B$ पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि $B=[b_{ij}]_{n\times n}$ सममित आव्यूह है, तो

$b_{ij}=b_{ji}$

सभी $i$ और $j$ के लिए या $1\leq i\leq n,$ और $1\leq j\leq n,$ । यहाँ,

$n$ कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
$b_{ij}$ स्थिति $(i,j)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $i$ वीं पंक्ति और $j$ वां स्तंभ है, और
$b_{ji}$ स्थिति $(j,i)$ पर एक तत्व है जो आव्यूह $B$ में $j$ वीं पंक्ति और $i$ वां स्तंभ है।

सममित आव्यूह उदाहरण

आइए आव्यूह $B$ का एक उदाहरण लेते हैं,

यहाँ, हम देख सकते हैं कि, $B^{T}=B$ । उदाहरण के लिए, $b_{12}=b_{21}=3,$ और $b_{13}=b_{31}=6,$ . इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

$B={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

$B^{T}={\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}}$

2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण: $B={\begin{bmatrix}1&-2\\-2&0\end{bmatrix}}$

3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण : $B={\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&1&3\\-1&3&0\end{bmatrix}}$

4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण: $B</$

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 === परिभाषा ===
-रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त <math>B</math> आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग [[आव्यूह]] है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त <math>B</math> आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 एक वर्ग आव्यूह  जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = B</math> है। दिए गए आव्यूह <math>B</math> पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।
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 सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए या <math>1 \leq i \leq n,</math>और <math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ,
-* <math>n</math> कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
+* <math>n</math> कोई भी [[प्राकृतिक संख्याएँ|प्राकृतिक संख्या]] है।
 * <math>b_{ij}</math> स्थिति <math>(i, j)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>i</math>वीं पंक्ति और <math>j</math>वां स्तंभ है, और
 * <math>b_{ji}</math> स्थिति<math>(j, i)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>j</math>वीं पंक्ति और <math>i</math>वां स्तंभ है।
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 सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग [[आव्यूह]] <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।
+'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।
 उपाय:
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 आइए आव्यूह <math>B</math> का उदाहरण लेते हैं,
+<math>B=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>
+<math>B^T=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-=== विषम सममित आव्यूह से संबंधित प्रमेय ===
+<math>-B=-\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-विषम  सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए, A + AT एक सममित आव्यूह है, और A - AT एक विषम  सममित आव्यूह है।
+<math>-B=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>
-उपाय:
-मान लें P = A + AT.
+यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = -B</math> , <math>b_{12} =-b_{21},</math> और  <math>b_{11} = b_{22} = 0</math> । इस प्रकार, <math>B</math> एक विषम सममित आव्यूह है।
-P का परिवर्त इस प्रकार दिया जा सकता है, PT = (A + AT)T = AT + (AT)T = AT + A = A + AT = P
+=== विषम सममित आव्यूह से संबंधित प्रमेय ===
+विषम  सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।
-⇒ A + AT एक सममित आव्यूह है।
+'''प्रमेय 1''': वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math>A - A^T</math> एक विषम  सममित आव्यूह है।
-इसके बाद, हम Q = A - AT
+उपाय:
-QT = (A + (-AT))T = AT + (-AT)T = AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT) = -Q
+मान लें  <math>P = A + A^T</math>
-⇒ A - AT एक विषम  सममित आव्यूह है।
+<math>P</math> का परिवर्त इस प्रकार दिया जा सकता है, <math>P^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T = P</math>
-प्रमेय 2: किसी भी वर्ग आव्यूह A को सममित आव्यूह, S और विषम  सममित आव्यूह, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,
+<math>\Rightarrow A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है।
-A = (1/2) × (A + AT) + (1/2 ) × (A - AT)। यहाँ, AT वर्ग आव्यूह A का परिवर्त है।
+इसके बाद, हम <math>Q = A - A^T</math>
-यदि A + AT एक सममित आव्यूह है, तो (1/2) × (A + AT) भी एक सममित आव्यूह है।
+<math>Q^T = (A + (-A^T))^T = A^T + (-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -Q</math>
-यदि A - AT एक विषम  सममित आव्यूह है, तो (1/2 ) × (A - AT) भी एक विषम  सममित आव्यूह है।
+<math>\Rightarrow A - A^T</math> एक विषम  सममित आव्यूह है।
-इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम  सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> को सममित आव्यूह, S और विषम  सममित आव्यूह, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,
-=== विषम  सममित आव्यूह के गुणधर्म ===
+<math>A = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A + A^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A - A^T)</math>। यहाँ, <math>A^T</math> वर्ग आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त है।
-किसी आव्यूह के विषम  सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया आव्यूह अपने परिवर्त के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ विषम  सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म  दिए गए हैं,
-जब दो विषम  सममित आव्यूह जोड़े जाते हैं, तो परिणामी आव्यूह हमेशा एक विषम  सममित आव्यूह होगा। दो विषम  सममित आव्यूह A और B पर विचार करें जैसे कि AT = -A, और BT = -B, तो हमारे पास (A + B)T = -(A + B) है
+यदि <math>A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है, तो  <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A + A^T)</math> भी एक सममित आव्यूह है।
-विषम  सममित आव्यूह का ट्रेस शून्य के बराबर होता है यानी मुख्य विकर्ण में सभी तत्वों का योग भी शून्य के बराबर होता है।
+यदि <math>A - A^T</math> एक विषम  सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A - A^T)</math> भी एक विषम सममित आव्यूह है।
-एक वास्तविक विषम  सममित आव्यूह A का वास्तविक आइजेनवैल्यू, λ शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि विषम  सममित आव्यूह के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।
+इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
-जब किसी स्केलर या वास्तविक संख्या को विषम-सममित आव्यूह से गुणधर्म ा किया जाता है, तो परिणामी आव्यूह भी विषम-सममित आव्यूह होगा। एक स्केलर मान k पर विचार करें, B एक विषम-सममित आव्यूह है, तो परिणामी आव्यूह भी एक विषम  सममित आव्यूह है। (kB)T = -kB.
+=== विषम सममित आव्यूह के गुणधर्म ===
+किसी आव्यूह के विषम सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया आव्यूह अपने परिवर्त के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ विषम सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म  दिए गए हैं,
-किसी भी वास्तविक विषम  सममित आव्यूह A के लिए, I + A आव्यूह व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान आव्यूह है।
+* जब दो विषम सममित आव्यूह जोड़े जाते हैं, तो परिणामी आव्यूह सदैव एक विषम सममित आव्यूह होगा। दो विषम  सममित आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> पर विचार करें जैसे कि <math>A^T = -A,</math> और <math>B^T = -B,</math> तो हमारे पास <math>(A + B)^T = -(A + B)</math> है।
+* विषम सममित आव्यूह का अवशेष शून्य के बराबर होता है यानी मुख्य विकर्ण में सभी तत्वों का योग भी शून्य के बराबर होता है।
+* एक वास्तविक विषम  सममित आव्यूह <math>A</math> का वास्तविक आइजेनवैल्यू, <math>\lambda</math> शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि विषम  सममित आव्यूह के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।
+* जब किसी अदिश या वास्तविक संख्या को विषम-सममित आव्यूह से गुणन  किया जाता है, तो परिणामी आव्यूह भी विषम-सममित आव्यूह होगा। एक अदिश मान <math>k</math> पर विचार करें, <math>B</math> एक विषम-सममित आव्यूह है, तो परिणामी आव्यूह भी एक विषम  सममित आव्यूह है। <math>(kB)^T = -kB</math> ।
+* किसी भी वास्तविक विषम  सममित आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>I + A</math> आव्यूह व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान आव्यूह है।
+* किसी भी वास्तविक विषम  सममित आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>A^2</math> एक सममित नकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।
-किसी भी वास्तविक विषम  सममित आव्यूह A के लिए, A2 एक सममित नकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।
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