कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन: Difference between revisions

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समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।
समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट [[फलनों के प्रकार|फलनों]] के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।
 
कई महत्वपूर्ण समाकलन सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।
 
== परिभाषा ==
 
 


कई महत्वपूर्ण [[समाकलन की विधियाँ|समाकलन]] सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।[[File:कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन.jpg|thumb|कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]
== समाकलन फलनों का प्रमाण ==
अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।




== समाकलन फलनों का प्रमाण ==
अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।


=== फंक्शन 1 का इंटीग्रल ===
=== फलन 1 का समाकलन ===
∫ dy / (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = 1/2a log |(y – a) / (y + a)| + C
<math>\int  dy / (y^2- a^2) = 1/2a \log \left\vert (y- a) / (y + a) \right\vert + C</math>


जैसा कि आप जानते हैं,
जैसा कि आप जानते हैं,


1 / (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = 1 / (y – a) (y + a)  
<math>1 / (y^2 - a^2) = 1 / (y - a) (y + a)</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


= 1/2a  
<math>= 1/2a(y+a)-(y-a)/(y-a)(y+a)</math> 


इसे और कम करते हुए,
इसे और कम करते हुए,


= 1/2a  
<math>= 1/2a\  1/(y-a)-1/(y+a)</math>


अतः,  ∫ dy / (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = 1/2a  
अतः,  <math>\int  dy / (y^2-a^2) = 1/2a\int dy/(y-a)-\int dy/(y+a)</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


= 1/2a  + C
<math>= 1/2a\log \left\vert (y-a)-\log \right\vert (y+a) + C</math>


अत:,
अत:,


= 1/2a log |(y – a) / (y + a)| + C
<math>= 1/2a \log \left\vert (y - a) / (y + a) \right\vert + C</math>


=== फंक्शन 2 का समाकलन ===
=== फलन 2 का समाकलन ===
∫ dy / (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = 1/2a log |(a + y) / (a – y)| + C
<math>\int  dy / (a^2 -y^2) = 1/2a \log \left\vert (a + y) / (a- y) \right\vert + C</math>


जैसा कि आप जानते हैं,
जैसा कि आप जानते हैं,


1 / (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = 1 / (a – y) (a + y)  
<math>1 / (a^2- y^2) = 1 / (a - y) (a + y)</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


= 1/2a  
<math>= 1/2a\ (a+y)+(a-y)/(a-y)(a+y)</math>


अत:,  
अत:,  


= 1/2a  
<math>= 1/2a\ 1/(a-y)+1/(a+y)</math>


इसलिए, ∫ dy / (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = 1/2a  
इसलिए, <math>\int dy / (a^2 -y^2) = 1/2a\int dy/(a-y)+\int dy/(a+y)</math>


जब आप हल करते हैं,
जब आप हल करते हैं,


= 1/2a + C
<math>= 1/2a-\log \left\vert (a-y)+\log \right\vert (a+y) + C</math>


अत:,
अत:,


= 1/2a log |(a + y) / (a – y)| + C
<math>= 1/2a \log \left\vert  (a + y) / (a - y) \right\vert + C</math>


=== फंक्शन 3 का इंटीग्रल ===
=== फलन 3 का समाकलन ===
∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a tan<sup>–1</sup> (y/a) + C
<math>\int  dy / (y^2 + a^2) = 1/a\  tan^{-1} (y/a) + C</math>


y = a tan t रखने पर, आपको dy = a sec2 t dt प्राप्त होगा।  
<math>y = a \ tan\  t</math> रखने पर, आपको <math>dy = a sec^2\  t\  dt</math> प्राप्त होगा।  


इसलिए,
इसलिए,


∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = ∫ [(a sec<sup>2</sup> t dt) / (a<sup>2</sup> tan<sup>2</sup> t + a<sup>2</sup>)]
<math>\int dy / (y^2 + a^2) = \int [(a \ sec^2\  t \ dt) / (a^2\  tan^2\  t + a^2)]</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a ∫ dt = t/a + C
<math>\int dy / (y^2 + a^2) = 1/a \int  dt = t/a + C</math>


t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,  
<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,  


∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a tan<sup>–1</sup> (y/a) + C
<math>\int  dy / (y^2 + a^2) = 1/a\  tan^{-1} (y/a) + C</math>


=== फंक्शन 4 का इंटीग्रल ===
=== फलन 4 का समाकलन ===
∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log |y + √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)| + C
<math>\int dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \log \left\vert y + \sqrt{ (y^2 - a^2)} \right\vert + C</math>


प्रतिस्थापित y = a sec t
प्रतिस्थापित <math>y = a\  sec\  t</math>


इसलिए, dy = a sec t tan t dt.
इसलिए, <math>dy = a\  sec\  t\  tan\  t \ dt</math>


इसलिए,
इसलिए,


∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ a sec t tan t dt / √ (a<sup>2</sup> sec<sup>2</sup> t – a<sup>2</sup>)
<math>\int  dy / \sqrt{(y^2 -a^2)} = \int  a\  sec\  t\  tan \  t\  dt / \sqrt{(a^2 sec^2 t - a^2)}</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ sec t dt = log |sec t + tan t| + C<sub>1</sub>
<math>\int  dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \int  sec\  t\  dt = \log \left\vert sec\  t + tan\  t \right\vert + C_1</math>


t का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,  
<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,  


∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log |(y/a) + √ [(y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) / a<sup>2</sup>]| + C<sub>1</sub>
<math>\int dy / \sqrt{(y^2 -a^2)} = \log \left\vert (y/a) + \sqrt{[(y^2 -a^2) / a^2]} \right\vert + C_1</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


= log |y + √(y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)| – log |a| + C<sub>1</sub>
<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2 - a^2)} \right\vert - \log \left\vert a \right\vert + C_1</math>


अत:,  
अत:,  


= log |y + √(y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)| + C
<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2-a^2)} \right\vert + C</math>  


जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log |a|
जहाँ, <math>C = C_1 - \log \left\vert a \right\vert</math>


=== फंक्शन 5 का इंटीग्रल ===
=== फलन 5 का समाकलन ===
∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C
<math>\int  dy / \sqrt{ (a^2- y^2)} = sin^{-1} (y/a) + C</math>


प्रतिस्थापन करने पर y = a sin t  
प्रतिस्थापन करने पर <math>y = a \ sin \ t</math>


dy = a cos t dt.
<math>dy = a \ cos \ t\  dt</math>


इसलिए,
इसलिए,


∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = ∫ a cos t dt / √ (a<sup>2</sup> – a<sup>2</sup> sin<sup>2</sup> t)
<math>\int  dy / \sqrt{(a^2 -y^2)} = \int a\  cos\  t \ dt / {\sqrt{(a^2 -a^2 sin^2 t)}}</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = ∫ t dt = t + C
<math>\int dy / \sqrt{(a^2 - y^2)} = \int  t\  dt = t + C</math>


t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,
<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,


∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C
<math>\int dy / \sqrt{(a^2 -y^2)} = sin^{-1} (y/a) + C</math>


=== फंक्शन 6 का इंटीग्रल ===
=== फलन 6 का समाकलन ===
∫ dy / √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = log |y + √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)| + C
<math>\int dy / \sqrt{(y^2 + a^2)} = \log \left\vert y + \sqrt{(y^2 + a^2)} \right\vert + C</math>


प्रतिस्थापन करने पर y = a tan t,  
प्रतिस्थापन करने पर <math>y = a \ tan\  t,</math>


dy = a sec<sup>2</sup> t dt
<math>dy = a sec^2\  t\  dt</math>  


इसलिए,
इसलिए,


∫ dy / √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = ∫ a sec<sup>2</sup> t dt / √ (a<sup>2</sup> tan<sup>2</sup> t + a<sup>2</sup>)
<math>\int dy / \sqrt{(y^2 + a^2)} = \int  a sec^2 t dt / \sqrt{(a^2 tan^2t + a^2)}</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ sec t dt = log |sec t + tan t| + C<sub>1</sub>
<math>\int  dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \int  sec \  t \ dt = \log \left\vert sec\  t + tan\  t \right\vert + C_1</math>


t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,
<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,


∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log |(y/a) + √ [(y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) / a<sup>2</sup>]| + C<sub>1</sub>
<math>\int  dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \log \left\vert (y/a) + \sqrt{[(y^2 + a^2) / a^2]} \right\vert + C_1</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


= log |y + √(y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)| – log |a| + C<sub>1</sub>
<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y2 + a2)} \right\vert-\log\left\vert a \right\vert + C_1</math>


अत:,
अत:,


= log |y + √(y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)| + C
<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2 + a^2)} \right\vert + C</math>  


जहाँ,  C = C<sub>1</sub> – log |a|
जहाँ,  <math>C = C_1 - \log \left\vert a \right\vert</math>


=== फंक्शन 7 का इंटीग्रल ===
=== फलन 7 का समाकलन ===
∫ dy / (ay<sup>2</sup> + by + c)
<math>\int  dy / (ay^2 + by + c)</math>


You can write this as
आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं


ay<sup>2</sup> + by + c = a [y<sup>2</sup> + (b/a)y + (c/a)]
<math>ay^2 + by + c = a [y^2 + (b/a)y + (c/a)]</math>


इसका समाधान करते हुए,
इसका समाधान करते हुए,


a [(y + b/2a)<sup>2</sup> + (c/a – b<sup>2</sup>/4a<sup>2</sup>)]
<math>a [(y + b/2a)^2 + (c/a- b^2/4a^2)]</math>


प्रतिस्थापित करें (y + b/2a) = t और आपको dy = dt प्राप्त होगा ।