गुणात्मक प्रतिलोम: Difference between revisions

Latest revision as of 13:30, 14 November 2023

किसी संख्या, मान लीजिए, $N$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ${\frac {1}{N}}$ या $N^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसे व्युत्क्रम भी कहा जाता है। व्युत्क्रम का अर्थ है जो विपरीत हो। प्राप्त संख्या का व्युत्क्रम इस प्रकार होता है कि जब इसे मूल संख्या से गुणा किया जाता है, तो मान तत्समक $1$ के बराबर होता है।

प्राकृत संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम

संख्या	गुणनात्मक प्रतिलोम
$3$	${\frac {1}{3}}$
$15$	${\frac {1}{15}}$

अब यह जांचने के लिए कि किसी संख्या का प्रतिलोम सही है या नहीं, हम गुणन संक्रिया कर सकते हैं, जैसे कि

$3\times {\frac {1}{3}}=1$ ........... $15\times {\frac {1}{15}}=1$

उपरोक्त परिस्थितयों में हमें तत्समक संख्या $1$ मिलती है। इसलिए यह सिद्ध होता है।

भिन्न का गुणनात्मक प्रतिलोम

यदि ${\frac {p}{q}}$ एक भिन्न है, तो गुणात्मक प्रतिलोम ${\frac {p}{q}}$ ऐसा होना चाहिए कि जब भिन्न से गुणा किया जाए तो परिणाम $1$ आए. अत:, ${\frac {q}{p}}$ भिन्न ${\frac {p}{q}}$ का गुणनात्मक प्रतिलोम है.

${\frac {p}{q}}\times {\frac {q}{p}}=1$

संख्या	गुणनात्मक प्रतिलोम
${\frac {3}{5}}$	${\frac {5}{3}}$
${\frac {15}{7}}$	${\frac {7}{15}}$

सम्मिश्र संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम

उदाहरण के लिए, $4+{\sqrt {-3}}$ एक सम्मिश्र संख्या है।

क्योंकि $i={\sqrt {-1}}$ इसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है;

$4+i{\sqrt {3}}$

यहाँ $4$ वास्तविक संख्या है और $i{\sqrt {3}}$ काल्पनिक संख्या है। अब इस सम्मिश्र संख्या $4-i{\sqrt {3}}$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए हमें इसे इस प्रकार गुणा और विभाजित करना होगा कि:

$=4+i{\sqrt {3}}\times {\frac {4-i{\sqrt {3}}}{4-i{\sqrt {3}}}}$

$={\frac {4^{2}-(i{\sqrt {3}})^{2}}{4-i{\sqrt {3}}}}$

$={\frac {16-i^{2}3}{4-i{\sqrt {3}}}}$

$i^{2}=-1$

$={\frac {16-(-1)3}{4-i{\sqrt {3}}}}$

$={\frac {16+3}{4-i{\sqrt {3}}}}$

$={\frac {19}{4-i{\sqrt {3}}}}$

अत: $4+i{\sqrt {3}}$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम ${\frac {19}{4-i{\sqrt {3}}}}$ है।

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-Multiplicative inverse
+किसी संख्या, मान लीजिए, <math>N</math> का गुणनात्मक प्रतिलोम <math>\frac{1}{N}</math> या <math>N^{-1}</math> द्वारा दर्शाया जाता है।  इसे व्युत्क्रम भी कहा जाता है। व्युत्क्रम का अर्थ है जो विपरीत हो। प्राप्त संख्या का व्युत्क्रम इस प्रकार होता है कि जब इसे मूल संख्या से गुणा किया जाता है, तो मान तत्समक <math>1</math> के बराबर होता है।
-[[Category:गणित]]
+== प्राकृत संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम ==
+{| class="wikitable"
+!संख्या
+!गुणनात्मक प्रतिलोम
+|-
+|<math>3</math>
+|<math>\frac{1}{3}</math>
+|-
+|<math>15</math>
+|<math>\frac{1}{15}</math>
+|}
+अब यह जांचने के लिए कि किसी संख्या का प्रतिलोम सही है या नहीं, हम गुणन संक्रिया कर सकते हैं, जैसे कि
+<math>3 \times \frac{1}{3} =1</math>........... <math>15 \times \frac{1}{15} =1</math>
+उपरोक्त परिस्थितयों में हमें तत्समक संख्या <math>1</math> मिलती है। इसलिए यह सिद्ध होता है।
+== भिन्न का गुणनात्मक प्रतिलोम ==
+यदि <math>\frac{p}{q}</math> एक भिन्न है, तो गुणात्मक प्रतिलोम <math>\frac{p}{q}</math> ऐसा होना चाहिए कि जब भिन्न से गुणा किया जाए तो परिणाम <math>1</math> आए. अत:, <math>\frac{q}{p}</math>भिन्न <math>\frac{p}{q}</math> का गुणनात्मक प्रतिलोम है.
+<math>\frac{p}{q} \times \frac{q}{p}=1</math>
+{| class="wikitable"
+!संख्या
+!गुणनात्मक प्रतिलोम
+|-
+|<math>\frac{3}{5}</math>
+|<math>\frac{5}{3}</math>
+|-
+|<math>\frac{15}{7}</math>
+|<math>\frac{7}{15}</math>
+|}
+== सम्मिश्र संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम ==
+उदाहरण के लिए, <math>4+\sqrt{-3}</math>एक सम्मिश्र संख्या है।
+क्योंकि <math>i=\sqrt{-1}</math> इसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है;
+<math>4+i\sqrt{3}</math>
+यहाँ <math>4</math> वास्तविक संख्या है और <math>i\sqrt{3}</math> काल्पनिक संख्या है। अब इस सम्मिश्र संख्या <math>4-i\sqrt{3}</math> का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए हमें इसे इस प्रकार गुणा और विभाजित करना होगा कि:
+<math>=4+i\sqrt{3} \times \frac{4-i\sqrt{3}}{4-i\sqrt{3}}</math>
+<math>=\frac{4^2-(i\sqrt{3})^2}{4-i\sqrt{3}}</math>
+<math>=\frac{16-i^23}{4-i\sqrt{3}}</math>
+<math>i^2=-1</math>
+<math>=\frac{16-(-1)3}{4-i\sqrt{3}}</math>
+<math>=\frac{16+3}{4-i\sqrt{3}}</math>
+<math>=\frac{19}{4-i\sqrt{3}}</math>
+अत:  <math>4+i\sqrt{3}</math>  का गुणनात्मक व्युत्क्रम  <math>\frac{19}{4-i\sqrt{3}}</math> है।
 [[Category:बीजगणित]]
+[[Category:अंकगणित]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]