तरंग समीकरण

तरंग समीकरण एक माध्यम से प्रसारित होने वाली तरंग की गति का गणितीय निरूपण है। यह अंतरिक्ष और समय में किसी भी बिंदु पर माध्यम में कणों के विस्थापन का वर्णन करता है। यांत्रिक तरंगों (जैसे ध्वनि तरंगें) और विद्युत चुम्बकीय तरंगों (जैसे प्रकाश तरंगें) के व्यवहार को समझने के लिए तरंग समीकरण आवश्यक है।

y(x,t)=Asin(kx−ωt+ϕ)

जहाँ:

y(x,t) = स्थिति

x और समय पर कण का विस्थापन 𝑡

A = तरंग का आयाम (अधिकतम विस्थापन)

k = तरंग संख्या

ω = कोणीय आवृत्ति

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

(ω=2πf)

t = समय (सेकंड में)

x = तरंग के प्रसार की दिशा में स्थिति (मीटर में)

ϕ = प्रारंभिक चरण या चरण स्थिरांक (तरंग का प्रारंभिक बिंदु निर्धारित करता है)

तरंग-गति

किसी तरंग-गति में वह न्यूनतम दूरी जिसपर किसी माध्यम का घनत्व (या दाब) आवर्ती रूप से अपने मान की पुनरावृति करता है, तरंग का तरंगदैर्घ्य कहा जाता है। तरंगदैर्घ्य का SI मात्रक मीटर (m) है। तरंगदैर्घ्य, तरंग के समान कला वाले दो क्रमागत बिन्दुओं की दूरी है। ये बिन्दु तरंगशीर्ष हो सकते हैं, तरंगगर्त या शून्य-पारण बिन्दु हो सकते हैं। तरंग दैर्घ्य किसी तरंग की विशिष्टता है। इसे ग्रीक अक्षर 'लैम्ब्डा' (λ) द्वारा निरुपित किया जाता है। $\lambda ={\frac {v}{f}}$

विद्युतचुम्बकीय माध्यम में तरंगदैर्घ्य

तरंगदैर्घ्य एक तरंग पर चरण में दो लगातार बिंदुओं के बीच की दूरी है। यह तरंग के एक पूर्ण दोलन या चक्र की लंबाई को दर्शाता है।

$\lambda ^{\prime }={\frac {\lambda _{0}}{\sqrt {\mu _{\rm {r}}\varepsilon _{\rm {r}}}}}={\frac {c}{f}}{\frac {1}{\sqrt {\mu _{\rm {r}}\varepsilon _{\rm {r}}}}}$

तरंगदैर्घ्य एक तरंग (जो विद्युत चुम्बकीय तरंग, ध्वनि तरंग या कोई अन्य तरंग हो सकती है) की एक शिखर से दूसरे शिखर तक या एक गर्त से दूसरे गर्त तक की दूरी है। शिखर तरंग का सबसे ऊँचा बिंदु होता है जबकि गर्त सबसे निचला बिंदु होता है।

जहाँ:

λ = तरंगदैर्घ्य (मीटर, मी में)

v = तरंग का वेग या गति (मी/सेकेंड में)

f = तरंग की आवृत्ति (हर्ट्ज या s−1)

उदाहरण

यदि ध्वनि तरंग की गति 340 मीटर/सेकंड है, और इसकी आवृत्ति 170 हर्ट्ज है, तो तरंगदैर्घ्य है:

$\lambda ={\frac {v}{f}}$

= ${\frac {340}{170}}$

= 2

तरंग की गति

$v=f\lambda$

𝑣 = आवृत्ति

λ = तरंगदैर्घ्य