लीलावती में 'समांतर श्रेढ़ी'

भूमिका

एक समांतर श्रेढ़ी या अंकगणितीय अनुक्रम (AP) संख्याओं का एक क्रम है, जैसे कि किसी भी सफल पद से उसके पूर्ववर्ती पद का अंतर पूरे अनुक्रम में स्थिर रहता है। निरंतर अंतर उस समांतर श्रेणी का सामान्य अंतर कहलाता है। उदाहरण के लिए, क्रम 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . सामान्य अंतर '2' के साथ समांतर श्रेढ़ी है।

श्लोक सं॰ 123

सैकपदघ्नपदार्धमथैकाद्यङ्कयुतिः किल सङ्कलिताख्या ।

सा द्वियुतेन पदेन विनिघ्नी स्यात् त्रिहृता खलु सङ्कलितैक्यम् ॥ १२३ ॥

$1+2+3+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}$

$1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$

उदाहरण:

एकादीनां नवान्तानां पृथक् सङ्कलितानि मे ।

तेषां सङ्कलितैक्यानि प्रचक्ष्व गणक द्रुतम् ॥

$1+2+...+9$ और $1+(1+2)+...+(1+2+...+9)$ ज्ञात कीजिए

श्लोक 123 के अनुसार उत्तर इस प्रकार हैं

$1+2+...+9={\frac {9(9+1)}{2}}={\frac {9X10}{2}}=45$

$1+(1+2)+...+(1+2+...+9)={\frac {9\ X\ (9+1)\ X\ (9+2)}{6}}={\frac {9\ X\ 10\ X\ 11}{6}}=165$

श्लोक सं॰ 125

द्विघ्नपदं कुयुतं त्रिविभक्तं सङ्कलितेन हतं कृतियोगः ।

सङ्कलितस्य कृतेः सममेकाद्यङ्कघनैक्यमुदाहृतमाद्यैः॥

$1^{2}+2^{2}+......+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$1^{3}+2^{3}+......+n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$

समांतर श्रेढ़ी

व्येकपदघ्नचयो मुखयुक स्यादन्त्यधनम् मुखयुग्दलितं तम् ।

मध्यधनं पदसंगुणितं तत्सर्वधनं गणितं च तदुक्तम् ॥

यदि पहला पद a है और सार्व अंतर (Common Difference-C.D.) d है,

समांतर श्रेढ़ी (A.P.) का nवाँ पद $l=a+(n-1)d$ इस प्रकार दिया जाता है

n पदों का योग ${\frac {n}{2}}(a+l)$ द्वारा दिया गया है।

यहां ${\frac {a+l}{2}}$ मध्य पद है।

उदाहरण 1:

तेषामेव च वर्गैक्यं घनैक्यं च वद द्रुतम् ।

कृतिसङ्कलनामार्गे कुशला यदि ते मतिः ॥

मुझे 1²+...+9² और 1³+ . . +9³ का योग बताओ।

टिप्पणी:

$1^{2}+......+9^{2}={\frac {9(9+1)(2\ X\ 9+1)}{6}}={\frac {9(10)(19)}{6}}=285$

$1^{3}+......+9^{3}=\left[{\frac {9(9+1)}{2}}\right]^{2}=\left[{\frac {9(10)}{2}}\right]^{2}=2025$

उदाहरण 2:

आदिः सप्त चयः पंच गच्छोऽष्टौ यत्र तत्र मे ।

मध्यान्त्यधन-संख्ये के वद सर्वधनं च किम् ॥

यदि किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद 7 है तो सार्व अंतर 5 है और पदों की संख्या 8 है, तो मध्य पद, अंतिम पद और योगफल ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी:

प्रथम पद a = 7 ; सार्व अंतर d = 5 : पदों की संख्या n = 8

अंतिम पद $l=a+(n-1)d=7+(8-1)5=7+(7)5=42$

मध्य पद = ${\frac {a+l}{2}}={\frac {7+42}{2}}={\frac {49}{2}}$ जो कि A.P में एक पद नहीं है।

योग = ${\frac {n}{2}}(a+l)={\frac {8}{2}}(7+42)=4\ X\ 49=196$

उदाहरण 3:

आद्ये दिने द्रम्मचतुष्टयं यो दत्त्वा दिनेभ्योऽनुदिनं प्रवृत्तः ।

दातुं सखे पंचचयेन पक्षे द्रम्मा वद द्राक्कति तेन दत्ताः ॥

एक सज्जन ने पहले दिन 4 D (द्रम) दान में (ब्राह्मण को) दिए। पंद्रह दिनों तक उन्होंने अपनी दानशीलता जारी रखी, हर रोज अपने योगदान को पिछले दिन की तुलना में 5D बढ़ा दिया। कुल दान ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: यहाँ a = 4, सार्व अंतर = d = 5, n = 15।

अंतिम पद $l=a+(n-1)d=4+(15-1)5=4+(14)5=74$

मध्य पद = $m={\frac {a+l}{2}}={\frac {4+74}{2}}={\frac {78}{2}}=39$

कुल दान = ${\frac {15}{2}}(4+74)={\frac {15\ X\ 78}{2}}=15\ X\ 39=585$ D

समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात करने का सूत्र

गच्छहृते गणिते वदनं स्यात् व्येकपदघ्नचयार्धविहीने ॥

किसी समांतर श्रेढ़ी(A.P.) का पहला पद ज्ञात करने के लिए, दिए गए योग को पदों की संख्या से विभाजित करें। शब्दों की संख्या घटाकर सामान्य अंतर को आधा करके गुणा करें, और इस परिणाम को पहले से प्राप्त भागफल से घटाएं।

$a={\frac {S}{n}}-{\frac {(n-1)d}{2}}$

उदाहरण:

पञ्चाधिकं शतं श्रेढीफलं सप्तपदं किल ।

चयं त्रयं वयं विद्मोवदनं वद नंदन ॥

हे पुत्र, उस समांतर श्रेणी (A.P) का मुख (पहला पद a) ज्ञात कीजिए जिसका S = 105, n = 7, d =3

टिप्पणी: $a={\frac {S}{n}}-{\frac {(n-1)d}{2}}$ = ${\frac {105}{7}}-{\frac {(7-1)\ X\ 3}{2}}=15-{\frac {6\ X\ 3}{2}}=15-9=6$

समांतर श्रेढ़ी में सार्व अंतर (C.D) ज्ञात करने का सूत्र

गच्छहृतं धनमादिविहीनं व्येकपदार्धहृतं च चयः स्यात् ॥

योग को पदों की संख्या (एक समांतर श्रेणी के) से विभाजित करें और इस भागफल से पहले पद को घटाएँ। इस परिणाम को पदों की संख्या के आधे से घटाकर एक सार्व अंतर से विभाजित किया जाता है।

$d={\frac {{\frac {S}{n}}-a}{\frac {n-1}{2}}}$

उदाहरण:

प्रथममगमदह्ना योजने यो जनेश:

तदनु ननु कयाऽसौ ब्रूहि यातोऽध्ववृद्ध्या ।

अरिकरिहरणार्थं योजनानामशीत्या

रिपुनगरमवाप्तः सप्तरात्रेण धीमन् ॥

दुश्मन हाथियों को पकड़ने के लिए, एक राजा पहले दिन 2 Y (योजना) तय करता है और फिर बाद के दिनों में अपनी दूरी को A.P तक बढ़ा देता है। यदि वह 7 दिनों में 80 Y की यात्रा करता है, तो हे बुद्धिमान लड़के, प्रत्येक दिन अतिरिक्त दूरी ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: S = 80 , n=7 , a = 2

$d={\frac {{\frac {S}{n}}-a}{\frac {n-1}{2}}}$ $={\frac {{\frac {80}{7}}-2}{\frac {7-1}{2}}}={\frac {66}{7}}\ X\ {\frac {2}{6}}={\frac {22}{7}}=3{\frac {1}{7}}$

A.P के पदों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र

श्रेढीफलादुत्तरलोचनघ्नात् चर्यार्धवक्त्रान्तरवर्गयुक्तात् ।

मूलं मुखोनं चयखंडयुक्तम् चयोद्धृतं गच्छमुदाहरन्ति ॥

पहले पद और आधी C.D के बीच के अंतर का वर्ग जोड़ें। (दिए गए A.P. के) योग को C.D के दोगुने से गुणा किया जाता है। फिर इस परिणाम का (धनात्मक) वर्गमूल ज्ञात कीजिए। पहले पद को घटाएं और आधा C.D जोड़ें। इस वर्गमूल के लिए। परिणामी को C.D द्वारा विभाजित किया गया। शब्दों की संख्या है (A.P. में)।

$n={\frac {{\sqrt {2Sd+(a-{\frac {d}{2}})^{2}}}-(a-{\frac {d}{2}})}{d}}$

उदाहरण:

द्रम्मत्रयं यः प्रथमेऽह्नि दत्त्वा दातुं प्रवृत्तो द्विचयेन तेन ।

शतत्रयं षष्ट्यधिकं द्विजेभ्यो दत्तं कियद्भिर्दिवसैर्वदाशु ॥

एक दानी ने पहले दिन एक ब्राह्मण को 3 डी (द्रम) दान में दिए। वह अपने दान में प्रतिदिन 2 D की वृद्धि करता रहा। यदि उसके द्वारा दी गई कुल राशि 360 D के बराबर है, तो उसने कितने दिनों तक दान दिया?

टिप्पणी:

$n={\frac {{\sqrt {2Sd+(a-{\frac {d}{2}})^{2}}}-(a-{\frac {d}{2}})}{d}}$

$n={\frac {{\sqrt {2\ X\ 360\ X\ 2+(3-{\frac {2}{2}})^{2}}}-(3-{\frac {2}{2}})}{2}}$

$n={\frac {{\sqrt {1440+4}}-2}{2}}={\frac {38-2}{2}}=18$

यह भी देखें

Arithmetic Progression in Līlāvatī