लीलावती में 'पाँच का नियम': Difference between revisions

Revision as of 20:16, 22 June 2023

श्लोक सं.97

प्रमाणकालेन हतं प्रमाणं विमिश्रकालेन हतं फलं च ।

स्वयोगभक्ते च पृथक् स्थिते च मिश्राहते मूल कलान्तरे स्तः ॥९७॥

साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें।^[1] इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो गुणनफलों a, और b को अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।

टिप्पणी: A = राशि, P = मूलधन, I = ब्याज, R = ब्याज की दर, Y = अवधि। P₀ = मानक मूलधन (आमतौर पर 100)

Y₀ = मानक अवधि (1 वर्ष या 1 माह)।

$P={\frac {A\ X\ P_{0}\ X\ Y_{0}}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

$I={\frac {A\ X\ R\ X\ Y}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

उदाहरण

पंचकेन शतेनाब्दे मूलं स्वं सकलान्तरम् ।

सहस्त्रं चेत्पृथक् तत्र वद मूल कलान्तरे ॥ ॥

जब ब्याज दर 5% प्रति माह है, तो एक वर्ष के बाद राशि 1000 एन (निष्कास) है। मूलधन और ब्याज ज्ञात करें।

टिप्पणी: उपरोक्त श्लोक में 'प्रति माह' का उल्लेख नहीं है लेकिन ऐसा लगता है कि उस समय ब्याज की गणना मासिक आधार पर की जाती थी।

यहां A = 1000, R = 5, P₀ = 100, Y₀ = 1 महीना Y = 1 वर्ष (12 महीने)

$P={\frac {1000\ X\ 100\ X\ 1}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=625$ N

$I={\frac {1000\ X\ 5\ X\ 12}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=375$ N

वैकल्पिक रूप से I = A - P = 1000 - 625 = 375 N

श्लोक सं.99

अथ प्रमाणैर्गुणिताः स्वकाला व्यतीतकालघ्नफलोद्धृतास्ते ।

स्वयोगभक्ताश्च विमिश्रनिघ्नाः प्रयुक्तखण्डानि पृथक् भवन्ति ॥९९॥

यदि किसी निश्चित मूलधन के कई भागों पर अलग-अलग अवधियों के लिए अलग-अलग ब्याज दरें होती हैं और फिर भी समान ब्याज मिलता है, तो इन भागों को खोजने के लिए - मानक मूलधन और मानक अवधि का गुणनफल लें, इस गुणनफल को संबंधित अवधियों के गुणनफल से विभाजित करें, और ब्याज दरें, और इन भागफलों को अलग से लिखें। इन भागफलों को दिए गए मूलधन से गुणा किया जाता है और अलग से लिखे गए भागफलों के योग से विभाजित किया जाता है, ये दिए गए मूलधन के वांछित भाग होते हैं।

टिप्पणी: भागों को दर्शाने के लिए प्रत्ययों के साथ पिछले उदाहरण के अंकन का उपयोग करना (हम तीन भागों पर विचार करते हैं):

$P_{1}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{2}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{3}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$

उदाहरण

यत्पंचकत्रिकचतुष्कशतेन दत्तं

खंडैस्त्रिभ�

[1]

@@ Line 5: / Line 5: @@
 ''स्वयोगभक्ते च पृथक् स्थिते च मिश्राहते मूल कलान्तरे स्तः'' ॥९७॥
-साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें।[1] इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो गुणनफलों  a, और b को अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।
+साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें।<ref>"भास्कराचार्य की लीलावती - वैदिक परंपरा के गणित का ग्रंथ। नई दिल्लीः मोतीलाल बनारसीदास पब्लिशर्स। 2001.पृष्ठ 89-93। [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]।"(Līlāvatī Of Bhāskarācārya - A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition. New Delhi: Motilal Banarsidass Publishers. 2001. pp. 89-93. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]..)</ref> इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो गुणनफलों  a, और b को अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।
 '''टिप्पणी''': A = राशि, P = मूलधन, I = ब्याज, R = ब्याज की दर, Y = अवधि। P<sub>0</sub> = मानक मूलधन (आमतौर पर 100)
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 == टंकियों को भरने का सूत्र   ==
+यहां हम जलाशयों (तालाबों, झीलों, टैंकों) को भरने का सूत्र जानेंगे।
+''भजेच्छिदोंऽशैरथ तैर्विमिश्रै रूपं भजेत् स्यात् परिपूर्तिकालः'' ॥॥
+किसी पूल/कुंड को भरने के लिए स्रोतों द्वारा लिए गए समय के व्युत्क्रमों के योग से विभाजित किया गया भाग भरने का समय है (पूल/कुंड; जब स्रोतों का एक साथ उपयोग किया जाता है)।
-''पञ्चप्तनवराशिकादिकेऽन्योन्यपक्षनयनं फलच्छिदाम्'' ।
+'''टिप्पणी''': मान लीजिए कि किसी जलाशय को भरने में स्रोतों को t1, t2,... का समय लगता है। यदि इनका एक साथ उपयोग किया जाए तो लगने वाला समय =<math>\frac{1}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+ ...}</math>
-''संविधाय बहुराशिजे वधे स्वल्पराशिवधभाजिते फलम्'' ॥ ८९ ॥
+== उदाहरण ==
+''ये निर्झरा दिनदिनार्धतृतीयषष्ठैः सम्पूर्णयन्ति हि पृथग्पृथगेव मुक्ताः'' ।
-पांच, सात, नौ आदि के नियमों के उदाहरणों की स्थति में, अंश में सभी अनुपातों के पूर्ववर्ती रखें। वांछित परिणाम को छोड़कर अन्य सभी शर्तों को भाजक में रखा जाना चाहिए। अंशों के गुणनफल को हरों के गुणनफल से विभाजित करने पर प्राप्त परिणाम आवश्यक परिणाम है।
-==उदाहरण 1==
-''मासे शतस्य यदि पञ्चकलान्तरं स्यात्''
-''वर्षे गते भवति किं वद षोडशानाम्'' ।
-''कालं तथा कथय मूलकलान्तराभ्याम्''
-''मूलं धनं गणक कालफले विदित्वा'' ॥ ॥
-इसमें तीन समस्याएं हैं।
-. यदि 100 निष्क(N) पर प्रति माह 5 N ब्याज (M) मिलता है, तो 16 N पर एक वर्ष (12 M) के लिए ब्याज ज्ञात कीजिए।
+''वापीं यदा युगपदेव सखे विमुक्ताः ते केन वासरलवेन तदा वदाऽशु'' ॥ ॥
-{| class="wikitable"
-|100 N मूलधन
-|:
-|16 N मूलधन
-| colspan="4" |
-|प्रत्यक्ष
-|-
-| colspan="3" |
-|::
-|5 N ब्याज
-|:
-|X
-|
-|-
-|1 मास
-|:
-|12 मास
-| colspan="4" |
-|प्रत्यक्ष
-|}<math>X = \frac{5 \ X \ 16 X \ 12}{100 \ X \ 1} = \frac{48}{5} =  9 \frac{3}{5}</math> N
-. उपरोक्त समस्या को (1) के समान दर पर परिवर्तित कर दिया गया है, 16 N पर <math>9 \frac{3}{5}</math> ब्याज प्राप्त करने की अवधि प्राप्त कीजिए।
+एक कुंड में चार धाराएँ बहती हैं और अलग-अलग उन्हें क्रमशः  <math>1</math>, <math>\frac{1}{2}</math> , <math>\frac{1}{3}</math> ,<math>\frac{1}{6}</math>  दिन लगते हैं। यदि चारों का एक साथ उपयोग किया जाता है, तो कुंड को भरने के लिए आवश्यक समय ज्ञात कीजिए।
-{| class="wikitable"
-|100 N
-|:
-|16 N
-| colspan="4" |
-|-
-| colspan="3" |
-|::
-|1 M
-|:
-|X
-|-
-|5N
-|:
-|<math>9 \frac{3}{5}</math>N
-| colspan="4" |
-|}<math>X = \frac{1 \ X \ 100 X \ \frac{48}{5}}{16 \ X \ 5} = 12</math> M
-. मान लीजिए कि हमें अवधि और ब्याज दिया गया है और हमें मूलधन (x) ज्ञात करना है।
+'''टिप्पणी:''' जैसा कि पिछले श्लोक में बताया गया है।
-{| class="wikitable"
-|5N
-|:
-|<math>9 \frac{3}{5}</math>N
-| colspan="4" |
-|-
-| colspan="3" |
-|::
-|100N
-|:
-|X
-|-
-|1 M
-|:
-|12 M
-| colspan="4" |
-|}<math>X = \frac{5 \ X \ 100 X \ \frac{48}{5}}{12 \ X \ 1} = 16</math> N
-==उदाहरण 2==
-''सत्र्यंशमासेन शतस्य चेत्स्यात्कलान्तरं पञ्च सपञ्चमांशाः'' ।
-''मासैस्त्रिभिः पञ्चलवाधिकैस्तैः सार्धद्विषट्कैः फलमुच्यतां किम् ॥ ॥''
+समय =  <math>\frac{1}{1+2+3+6} =\frac{1}{12}</math>वां दिन
-यदि 100 पर <math>\frac{4}{3}</math> महीने का ब्याज <math>5\frac{1}{5}</math> है, तो <math>62\frac{1}{2}</math> पर <math>3\frac{1}{5}</math> महीने का ब्याज कितना होगा?
+चार धाराएँ एक दिन में 1, 2, 3, और 6 पूल भर सकती हैं और इस प्रकार वे मिलकर एक दिन में 12 पूल भर सकती हैं।
-'''टिप्पणी''': पांच का नियम है:
+अतः एक कुंड का समय = <math>\frac{1}{12}</math> दिन।
-{| class="wikitable"
-|100
-|:
-|<math>62 \frac{1}{2}</math>
-| colspan="4" |
-|प्रत्यक्ष
-|-
-| colspan="3" |
-|::
-|<math>\frac{26}{5}
-</math>
-|:
-|X
-|
-|-
-|<math>\frac{4}{3}
-</math>M
-|:
-|<math>\frac{16}{5}
-</math>N
-| colspan="4" |
-|प्रत्यक्ष
-|}<math>X = \frac{26}{5} \ X \ \frac{125}{2} \ X \ \frac{16}{5} \ X \ \frac{1}{100} \ X \ \frac{3}{4} = \frac{39}{5} = 7\frac{4}{5}
-</math>
 ==यह भी देखें==
 [[The Rule of Five in Līlāvatī]]
 ==संदर्भ==
 [[Category:लीलावती में गणित]]