सद्रत्नमाला में 'घनमूल'

भूमिका

यहां हम सद्रत्नमाला में उल्लिखित एक संख्या का घनमूल जानेंगे।

श्लोक

घनमूलस्य वर्गेण त्रिघ्नेनाघनतोऽन्त्यतः ।

लब्धस्य वर्गस्त्रयादिघ्नः शोध्याश्चाद्याद् घनाद् घनः ॥ १८ ॥

अनुवाद

(अंतिम स्थान से अधिकतम संभव घन घटाकर और घटाई गई संख्या का घनमूल घनमूल की रेखा में रखकर), दूसरे गैर-घन स्थान को घनमूल के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (और भागफल को पहले रखे गए घनमूल के दाईं ओर रखें) और पहले गैर-घन स्थान से घनमूल के तीन गुना से गुणा किए गए भागफल का वर्ग घटाएँ। फिर घन स्थान से (भागफल का) घन घटा दें। इसे तब तक दोहराएँ जब तक अंक समाप्त न हो जाएँ।

दाएँ से बाएँ तक गिने गए स्थानों को घन स्थान, प्रथम अघन स्थान, द्वितीय अघन स्थान, पुनः घन स्थान, प्रथम अघन स्थान, द्वितीय अघन स्थान इत्यादि कहते हैं।

उदाहरण: 12812904 का घनमूल

दाएँ से बाएँ घन स्थानों को c द्वारा और गैर-घन स्थानों को क्रमशः n और n' द्वारा चिह्नित ,किया जाता है।

	n	c	n'	n	c	n'	n	c	प्रक्रिया विवरण	परिणाम
	1	2	8	1	2	9	0	4
-23 (2 - प्रथमफल)		8							अंतिम घन स्थान (12) से अधिकतम संभावित घन (8 = 23) घटाएँ। यहाँ 2 प्रथमफल है।	2
÷ 3 X 22 = 12	12)	4	8	(3 (3 - द्वितीयफल)					अगले गैर-घन स्थान (8) के अंक को शेषफल (4) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 48 है और इसे पहले परिणाम के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (2) = 3 X 22 = 12।	2 3
		3	6						उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 12 X 3 = 36 से घटाएं। यहां भागफल 3 है। 3 द्वितीयफल है। पहले परिणाम के तीन गुना और भागफल के वर्ग के गुणनफल को अगले गैर-घन स्थान से घटाया जा सके, इसके लिए हमने ऊपर भागफल को 3 रखा है, 4 नहीं।
		1	2	1					अगले गैर-घन स्थान (1) के अंक को शेषफल (12) के दाईं ओर रखें, अब संख्या 121 है।
-3 X 2 X 32 =-54			5	4					पहले परिणाम को भागफल (3) के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ = 3 X 2 X 32 = 54।
			6	7	2				अगले घन के अंक (2) को शेषफल (67) के दाईं ओर रखें। अब यह संख्या 672 है.
-33				2	7				भागफल (3) का घन घटाएँ।
÷ 3 X 232 = 1587	1587)		6	4	5	9	(4 (4 - तृतीयफल)		अगले गैर-घन स्थान (9) के अंक को शेषफल (645) के दाईं ओर रखें, अब संख्या 6459 है और इसे दूसरे परिणाम के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (23) = 3 X 232 = 1587।	2 3 4
			6	3	4	8			उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभावित संख्या 1587 X 4 = 6348 से घटाएं यहां भागफल 4 है। 4 तृतीयफल है।
				1	1	1	0		अगले गैर-घन स्थान के अंक (0) को शेषफल (111) के दाईं ओर रखें, अब संख्या 1110 है।
-3 X 23 X 42 = -1104				1	1	0	4		दूसरे परिणाम को भागफल (4) के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ = 3 X 23 X 42 = 1104।
							6	4	अगले घन के अंक (4) को शेषफल (6) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 64 है.
-43=-64							6	4	भागफल (4) का घन घटाएँ।
								0

चूँकि शेषफल शून्य है, घनमूल सटीक है।

12812904 का घनमूल = 234

उदाहरण: 2628072 का घनमूल

दाएँ से बाएँ घन स्थानों को c द्वारा और गैर-घन स्थानों को क्रमशः n और n' द्वारा चिह्नित ,किया जाता है।

	c	n'	n	c	n'	n	c	प्रक्रिया विवरण	परिणाम
	2	6	2	8	0	7	2
-13 (2 - प्रथमफल)	1							अंतिम घन स्थान (2) से अधिकतम संभावित घन (1 = 13) घटाएँ। यहाँ 1 प्रथमफल है।	2
÷ 3 X 12 = 3	1	6	(3 (3 - द्वितीयफल)					अगले गैर-घन स्थान (6) के अंक को शेषफल (1) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 16 है और इसे पहले परिणाम के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (1) = 3 X 12 = 3।	2 3
		9						उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 3 X 3 = 9 से घटाएं। यहां भागफल 3 है। 3 द्वितीयफल है। पहले परिणाम के तीन गुना और भागफल के वर्ग के गुणनफल को अगले गैर-घन स्थान से घटाया जा सके, इसके लिए हमने ऊपर भागफल को 3 रखा है, 4 या 5 नहीं।
		7	2					अगले गैर-घन स्थान (2) के अंक को शेषफल (7) के दाईं ओर रखें, अब संख्या 72 है।
-3 X 1 X 32=-27		2	7					पहले परिणाम को भागफल (3) के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ = 3 X 1 X 32 = 27।
		4	5	8				अगले घन के अंक (8) को शेषफल (45) के दाईं ओर रखें। अब यह संख्या 458 है.
-33			2	7				भागफल (3) का घन घटाएँ।
÷ 3 X 132 = 507		4	3	1	0	(8 (8 - तृतीयफल)		अगले गैर-घन स्थान (0) के अंक को शेषफल (431) के दाईं ओर रखें, अब संख्या 4310 है और इसे दूसरे परिणाम के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (13) = 3 X 132 = 507।	2 3 4
		4	0	5	6			उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभावित संख्या 507 X 8 = 4056 से घटाएं यहां भागफल 8 है। 8 तृतीयफल है।
			2	5	4	7		अगले गैर-घन स्थान के अंक (7) को शेषफल (254) के दाईं ओर रखें, अब संख्या 2547 है।
-3 X 13 X 82 = -2496			2	4	9	6		दूसरे परिणाम को भागफल (8) के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ = 3 X 13 X 82 = 2496।
					5	1	2	अगले घन के अंक (2) को शेषफल (51) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 512 है.
-83=-512					5	1	2	भागफल (8) का घन घटाएँ।
							0

चूँकि शेषफल शून्य है, घनमूल सटीक है।

2628072 का घनमूल = 138

यह भी देखें

Cube root in Sadratnamālā