क्रमचय: Difference between revisions

Revision as of 11:03, 12 November 2024

क्रमचय वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक $^{n}P_{r}$ का उपयोग $n$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें एक बार में $r$ लिया जाता है। यह बसों, ट्रेनों या उड़ानों के शेड्यूल, ज़िप कोड और फ़ोन नंबरों के आवंटन को लॉक करता है। ये कुछ स्थितियाँ हैं जहाँ क्रमचय का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

क्रमचय परिणामों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था और एक क्रमबद्ध संयोजन है। उदाहरण के लिए, $5$ कुर्सियाँ हैं और $3$ व्यक्तियों को बैठाना है। हमारे पास पहले व्यक्ति को बैठाने के $5$ तरीके हैं; अगले व्यक्ति को बैठाने के $4$ तरीके और तीसरे व्यक्ति को बैठाने के $3$ तरीके हैं। इस प्रकार, $5$ कुर्सियों में $3$ व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अपने पास उपलब्ध विकल्पों को गुणा करते हैं। हम इसे $5\times 4\times 3$ तरीकों से करते हैं। यानी, इसे $60$ तरीकों से किया जा सकता है। ध्यान दें कि $5\times 4\times 3$ को ${\frac {(5!)}{(2!)}}$ (या) ${\frac {(5!)}{(5-3)!}}$ के रूप में लिखा जा सकता है!

इसे सामान्यीकृत करते हुए, हमें पहली कुर्सी भरने के लिए $n$ विकल्प, दूसरी को भरने के लिए $n-1$ विकल्प और तीसरी कुर्सी को भरने के लिए $n-2$ विकल्प मिलते हैं। इस प्रकार, $n$ कुर्सियों में $r$ लोगों के क्रमचय (व्यवस्था) की कुल संख्या $^{n}P_{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}$ nPr = n! / (n - r)! के रूप में व्यक्त की जा सकती है।

क्रमचय का अर्थ है स्थिति बनाना। आइए क्रमचय के बारे में कुछ हल किए गए उदाहरणों के साथ और जानें।

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-Permutations
+'''क्रमचय''' वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक  <math>^nP_r</math> का उपयोग <math>n</math> अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें एक बार में <math>r</math> लिया जाता है। यह बसों, ट्रेनों या उड़ानों के शेड्यूल, ज़िप कोड और फ़ोन नंबरों के आवंटन को लॉक करता है। ये कुछ स्थितियाँ हैं जहाँ क्रमचय का उपयोग किया जाता है।
+== परिभाषा ==
+क्रमचय परिणामों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था और एक क्रमबद्ध संयोजन है। उदाहरण के लिए, <math>5</math> कुर्सियाँ हैं और <math>3</math> व्यक्तियों को बैठाना है। हमारे पास पहले व्यक्ति को बैठाने के <math>5</math> तरीके हैं; अगले व्यक्ति को बैठाने के <math>4</math> तरीके और तीसरे व्यक्ति को बैठाने के <math>3</math> तरीके हैं। इस प्रकार, <math>5</math> कुर्सियों में <math>3</math> व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अपने पास उपलब्ध विकल्पों को गुणा करते हैं। हम इसे <math>5\times 4\times  3</math>तरीकों से करते हैं। यानी, इसे <math>60</math> तरीकों से किया जा सकता है। ध्यान दें कि <math>5\times 4\times  3</math> को <math> \frac{(5!)}{(2!)}</math> (या) <math> \frac{(5!)}{(5-3)!}</math> के रूप में लिखा जा सकता है!
+इसे सामान्यीकृत करते हुए, हमें पहली कुर्सी भरने के लिए <math>n</math> विकल्प, दूसरी को भरने के लिए <math>n-1</math> विकल्प और तीसरी कुर्सी को भरने के लिए <math>n-2</math> विकल्प मिलते हैं। इस प्रकार, <math>n</math> कुर्सियों में <math>r</math> लोगों के क्रमचय (व्यवस्था) की कुल संख्या <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>   nPr = n! / (n - r)! के रूप में व्यक्त की जा सकती है।
+क्रमचय का अर्थ है स्थिति बनाना। आइए क्रमचय के बारे में कुछ हल किए गए उदाहरणों के साथ और जानें।
 [[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]