फलन का प्रतिलोम

व्युत्क्रम फ़ंक्शन को मूल फ़ंक्शन f के संबंध में f-1 द्वारा दर्शाया जाता है और मूल फ़ंक्शन का डोमेन व्युत्क्रम फ़ंक्शन की श्रेणी बन जाता है और दिए गए फ़ंक्शन की श्रेणी व्युत्क्रम फ़ंक्शन का डोमेन बन जाती है। व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ रेखा y = x के संदर्भ में (x, y) को (y, x) से बदलकर प्राप्त किया जाता है।

आइए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, व्युत्क्रम फ़ंक्शन को खोजने के चरणों और व्युत्क्रम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में अधिक जानें।

एक फ़ंक्शन मानों को स्वीकार करता है, इन मानों पर विशेष ऑपरेशन करता है और आउटपुट उत्पन्न करता है। व्युत्क्रम फ़ंक्शन परिणामी के साथ सहमत होता है, संचालित होता है और मूल फ़ंक्शन पर वापस पहुँचता है।

परिभाषा

फ़ंक्शन f का व्युत्क्रम f-1 द्वारा दर्शाया जाता है और यह केवल तभी मौजूद होता है जब f एक-एक और आच्छादक फ़ंक्शन दोनों हो। ध्यान दें कि f-1, f का व्युत्क्रम नहीं है। फ़ंक्शन f और आच्छादक फ़ंक्शन f-1 की संरचना x का डोमेन मान देती है।

(f o f-1) (x) = (f-1 o f) (x) = x

फ़ंक्शन 'f' को व्युत्क्रम फ़ंक्शन माना जाने के लिए, y ∈ Y श्रेणी में प्रत्येक तत्व को डोमेन सेट में किसी तत्व x ∈ X से मैप किया गया है, और इस तरह के संबंध को एक-एक संबंध या निषेधाज्ञा संबंध कहा जाता है। साथ ही दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्क्रम f-1 का डोमेन y ∈ Y है जो सह-डोमेन सेट में एक अलग तत्व x ∈ X से संबंधित है, और दिए गए फ़ंक्शन 'f' के संदर्भ में इस तरह का संबंध एक आच्छादक फ़ंक्शन या एक प्रक्षेपण फ़ंक्शन है। इस प्रकार व्युत्क्रम फलन एक निषेधात्मक और एक अधिरोपण फलन होने के कारण, एक द्विआवेशन फलन कहलाता है।

आइए एक फ़ंक्शन f पर विचार करें जिसका डोमेन सेट X है और सहडोमेन सेट Y है। फ़ंक्शन f व्युत्क्रमणीय है यदि कोई अन्य फ़ंक्शन g मौजूद है जिसका डोमेन Y है और इसका सहडोमेन X है। इन दो फ़ंक्शन को f(x) = Y, और g(y) = X के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस स्थिति के लिए, यदि फ़ंक्शन f(x) व्युत्क्रम है, तो इसका व्युत्क्रम फ़ंक्शन g(x) अद्वितीय है।

यदि दो फ़ंक्शन f(x), और g(x) की संरचना के परिणामस्वरूप एक पहचान फ़ंक्शन f(g(x))= x होता है, तो दोनों फ़ंक्शन एक दूसरे के व्युत्क्रम कहलाते हैं। यदि x पर इनपुट के रूप में फ़ंक्शन के अनुप्रयोग से y का n आउटपुट मिलता है, तो y पर दूसरे फ़ंक्शन g के अनुप्रयोग से x का मान वापस मिलना चाहिए। इसलिए फ़ंक्शन का व्युत्क्रम फ़ंक्शन को उलट देता है। दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन व्युत्क्रम फ़ंक्शन की श्रेणी बन जाता है, और दिए गए फ़ंक्शन की श्रेणी व्युत्क्रम फ़ंक्शन का डोमेन बन जाती है।

व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजने के चरण

निम्नलिखित चरणों का क्रम फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को आसानी से खोजने में मदद करेगा। यहाँ हम एक फ़ंक्शन f(x) = ax + b पर विचार करते हैं, और निम्नलिखित चरणों के माध्यम से इस फ़ंक्शन का व्युत्क्रम खोजने का लक्ष्य रखते हैं।

दिए गए फ़ंक्शन f(x) = ax + b के लिए, f(x) = y को प्रतिस्थापित करें, जिससे y = ax + b प्राप्त होगा।

फ़ंक्शन y = ax + b में x को y से और y को x से प्रतिस्थापित करके x = ay + b प्राप्त करें।

यहाँ y के लिए व्यंजक x = ay + b हल करें। और हमें y = (x - b/a

अंत में y = f-1(x) को प्रतिस्थापित करें, और हमें f-1(x) = (x - b)/a प्राप्त होगा।

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़

इंजेक्टिव फ़ंक्शन मूल फ़ंक्शन का प्रतिबिंब है जो रेखा y = x के संदर्भ में है, और (x, y) को (y, x) के साथ स्वैप करके प्राप्त किया जाता है।

यदि दो फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिए गए हैं, तो हम पहचान सकते हैं कि वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं या नहीं। यदि दोनों फ़ंक्शन के ग्राफ़ रेखा y = x के संबंध में सममित हैं, तो हम कहते हैं कि दोनों फ़ंक्शन एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। ऐसा इस तथ्य के कारण है कि यदि (x, y) फ़ंक्शन पर स्थित है, तो (y, x) इसके व्युत्क्रम फ़ंक्शन पर स्थित है।