अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण: Difference between revisions

Revision as of 19:16, 29 September 2023

एक संख्या $x$ को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे ${\frac {p}{q}}$ के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {3}}$ , ${\sqrt {7}}$ , $\pi$ , $0.10110111011110.....$ आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।

इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि ${\sqrt {p}}$ अपरिमेय संख्या है , जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है। हम अपने प्रमाण में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रेमय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

प्रेमय 1

कथन : माना कि $p$ एक अभाज्य संख्या है, यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ ; $a$ को विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ।

प्रमाण :

मान लीजिए कि $a$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,

$a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ जहाँ $p_{1},p_{2},.....p_{n}$ अभाज्य संख्याएँ है ।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,

$a^{2}=(p_{1}p_{2}.....p_{n})(p_{1}p_{2}....p_{n})$

$a^{2}=p_{1}^{2}p_{2}^{2}.....p_{n}^{2}$

कथन में हमें दिया गया है कि, $p$ $a$ को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि $p$ , $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंड $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ है तो , $p$ का मान $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ इनमें से एक है ।

इस तरह , $a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ ;

अतः , $p$ $a$ को विभाजित करता है ।

उदाहरण 1

सिद्ध करें कि ${\sqrt {2}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

हल

आइए, इसके विपरीत मान लें कि ${\sqrt {2}}$ एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ जहाँ, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $b\neq 0$ हैं ।

मान लीजिए कि $a$ और $b$ में $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं, और मान सकते हैं , कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं । अतः ,

$b{\sqrt {2}}=a$

दोनों तरफ वर्ग करके पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

$2b^{2}=a^{2}$ $.............(1)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , $a^{2}$ ; $2$ से विभाज्य है , अतः प्रमेय $1$ ( यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ ; $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि $a$ भी $2$ से विभाज्य होगा ।

अब, हम कह सकते हैं ,

$a equals 2 c$

@@ Line 8: / Line 8: @@
 == प्रेमय 1 ==
-कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math>  <math>a</math>  को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।
+कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ;  <math>a</math>  को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।
 प्रमाण :
@@ Line 45: / Line 45: @@
 <math>2b^2=a^2</math>            <math>.............(1)</math>
-उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , <math>a^2</math> ; <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math>  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>a</math>  भी  <math>2</math> से विभाज्य होगा ।
+उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , <math>a^2</math> ; <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ;  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>a</math>  भी  <math>2</math> से विभाज्य होगा ।
 अब, हम कह सकते हैं ,
@@ Line 63: / Line 63: @@
 <math>b^2=2c^2</math>
-अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ;  <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math>  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>2</math> ;  <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।
+अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ;  <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ;  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>2</math> ;  <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।
 इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।
 अतः ,  हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय संख्या है ।
+== उदाहरण 2 ==
+सिद्ध करें कि <math>5-\sqrt{3}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
+हल
+आइए, इसके विपरीत  मान लें कि <math>5-\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :
+<math>5-\sqrt{3}=\frac{a}{b}</math>  जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।
+पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,
+<math>\sqrt{3}=5-\frac{a}{b}</math>
+<math>\sqrt{3}=\frac{5b-a}{b}</math>
+चूँकि , <math>a</math>  और <math>b</math>  पूर्णांक हैं ; अतः , यह स्पष्ट है कि  <math>5-\frac{a}{b}</math>  एक परिमेय संख्या है और इसलिए <math>\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या  है। यह विरोधाभास हमारी ग़लत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>5-\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है ।
+अतः ,  हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>5-\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है ।