अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ

जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;

$\{a+kd,k\in N\}$

जहां ,

$a=$ पहला पद

$d=$ सार्व अंतर

$N=\{1,2,3,4,....\}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय हैं ।

उदाहरण 1

1. $6,10,14,18,22,..........$
2. $3,5,7,9,...........$

उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः $6$ तथा $3$ एवं सार्व अंतर $4$  तथा $2$ है , तथा इन श्रेढ़ीयों में असीमित अर्थात अपरिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।

उदाहरण 2

निम्नलिखित में से कौन अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का एक उदाहरण है ?

1. $10$ तक सम संख्याओं का समुच्चय
2. सम संख्याओं का समुच्चय
3. $100$ तक सम संख्याओं का समुच्चय
4. $1000$ तक सम संख्याओं का समुच्चय

हल

1. $10$ तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10\}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
2. सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10,...........\infty \}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में अपरिमित अर्थात सीमित पद नही है , तो यह अपरिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
3. $100$ तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10,.........100\}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
4. $1000$ तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10,.........1000\}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग

एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां $n$ पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है $(n\longrightarrow \infty )$, और सार्व अंतर $d$ , $0$ से अधिक है अर्थात $(d>0)$, तो ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=\infty$ होगा ।

एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां $n$ पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है $(n\longrightarrow \infty )$, और सार्व अंतर $d$ , $0$ से कम है अर्थात $(d<0)$, तो ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=-\infty$ होगा ।

उदाहरण 1

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी $-2,0,2,4,6,8,.............$ का योग ज्ञात करें ।

हल

पहला पद $a=-2$

सार्व अंतर

$d=0-(-2)$

$d=0+2$

$d=2$

अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर $d=2$ , $0$ से अधिक है अर्थात $(d>0)$ , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=\infty$ होगा ।

उदाहरण 2

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी $7,3,-1,-5,...........$ का योग ज्ञात करें ।

हल

पहला पद $a=7$

सार्व अंतर

$d=3-7$

$d=-4$

अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर $d=-4$ , $0$ से कम है अर्थात $(d<0)$ , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=-\infty$ होगा ।