प्रक्षेप्य गति

Projectile motion

प्रक्षेप्य गति एक वस्तु की गति को संदर्भित करती है जो हवा में प्रक्षेपित होती है और अकेले गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलती है, यह मानते हुए कि कोई अन्य बल उस पर कार्य नहीं कर रहा है (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा)। प्रक्षेप्य गति के सामान्य उदाहरणों में हवा में फेंकी गई गेंद या तोप से प्रक्षेपित एक प्रक्षेप्य शामिल है।

प्रक्षेप्य गति की प्रमुख विशेषताओं

  त्वरण

चूँकि प्रक्षेप्य गतिकी के अध्यनन में केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण होता है, क्षैतिज दिशा में वेग स्थिर माना जाता है, जो ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$ के बराबर होता है। प्रक्षेप्य की ऊर्ध्वाधर गति एक कण की उसके मुक्त रूप से गिरने की गति है। यहां त्वरण स्थिर है, जो $g$ के बराबर है। त्वरण के घटक हैं:

${a_{x}=0},$

$a_{y}=-g,$

वेग

यदि यह मान लीय जाए की प्रक्षेप्य को प्रारंभिक वेग $v(0)\equiv v_{0}$ के साथ प्रक्षेपित किया गया है, जिसे क्षैतिज और के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}$

ऊर्ध्वाधर घटक इस प्रकार हैं:

यदि प्रारंभिक प्रक्षेप्य (लॉन्च) कोण, $\theta$, ज्ञात हो तो (घटक) $v_{0x}$ और $v_{0y}$ नीचे दीये गए समीकरणों का उपयोग कर निकाला जा सकता है :

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )},$

${v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )},$

वस्तु के वेग का क्षैतिज घटक गतिमान अवस्था की अवधि तक अपरिवर्तित रहता है। वेग का ऊर्ध्वाधर घटक रैखिक रूप से बदलता है, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण स्थिर होता है। किसी भी समय $t$ पर वेग के घटकों को हल करने के लिए $x$और $y$ दिशाओं में त्वरण को निम्नानुसार एकीकृत किया जा सकता है:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}cos(\theta )},$

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt},$

वेग का परिमाण (पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार , जिसे त्रिभुज नियम के रूप में भी जाना जाता है):

   $v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$

विस्थापन

किसी भी समय $t$ , प्रक्षेप्य का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन है:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )},$

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

विस्थापन का परिमाण है:

 $\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

निम्न लिखित समीकरणों पर विचार करें,

$x=v_{0}t\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}),y=v_{0}t\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})-<!--\; -\; -->$