समुच्चयों का अंतर: Difference between revisions

Revision as of 15:13, 7 November 2024

परिचय

समुच्चयों का अंतर महत्वपूर्ण और मौलिक समुच्चय सिद्धांत संक्रियाओं में से एक है। समुच्चयों के अंतर के अलावा संघ और प्रतिच्छेदन अन्य समुच्चय सिद्धांत संक्रियाएँ हैं। दो समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर फिर से एक समुच्चय है जिसमें $A$ के तत्व उपस्थित हैं जो $B$ में नहीं हैं।

इस लेख में, आइए समुच्चयों के अंतर, उनके गुणों के साथ-साथ वेन आरेखों और हल किए गए उदाहरणों के बारे में अधिक जानें।

परिभाषा

समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं किंतु $B$ में नहीं हैं, जब कि $A$ और $B$ को इसी क्रम में लिया जाए। प्रतीतात्मक रूप में इसे $A-B$ लिखते हैं और “ $A$ अंतर $B$ ” पढ़ते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1: मान लेते हैं कि $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $B=\{2,4,6,8\}$ तब $A-B$ और $B-A$ ज्ञात कीजिए ।

हल हम प्राप्त करते हैं कि, $A-B=\{1,3,5\}$ , क्योंकि अवयव $1,3,5$ समुच्चय $A$ में हैं किंतु $B$ में नहीं हैं तथा $B-A=\{8\}$ , क्योंकि अवयव $8$ , $B$ में है किंतु $A$ में नहीं है। हम देखते हैं कि $A-B\neq B-A$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $V=\{a,e,i,o,u\}$ तो $B=\{a,i,k,u\}$ , तो $V-B$ और $B-V$ ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, $V-B=\{e,o\}$ , क्योंकि अवयव $e,o$ समुच्चय $V$ में हैं किंतु $B$ में नहीं है तथा - $B-V=\{k\}$ , क्योंकि अवयव $k$ समुच्चय $B$ में है परंतु $V$ में नहीं है।

चित्र-1 समुच्चयों का अंतर

हम यह अवश्य ध्यान देते हैं कि $V-B\neq B-V$ समुच्चय निर्माण संकेतन का प्रयोग करते हुए हम समुच्चयों के अंतर की परिभाषा को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं:

$A-B=\{x:x\in A$ और $x\not \in B\}$

दो समुच्चयों $A$ और $B$ के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसा कि चित्र-1 में प्रदर्शित है। छायांकित भाग दो समुच्चय $A$ और $B$ के अंतर को दर्शाता है।

समुच्चयों के अंतर के गुणधर्म

किसी भी दो समुच्चयों A और B के लिए, यहाँ समुच्चयों के अंतर के गुण दिए गए हैं। यहाँ, ∅ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है।

$A-B=A\cap B^{0}$
$A-A=\phi$
$A-\phi =A$
$\phi -A=A$
$A-B=A$ यदि $A\cap B=\phi$
$A-B=B-A=\phi$ यदि $A=B$
यदि $A\subset B$ , तब $A-B=\phi$
$n(A\bigtriangleup B)=n(A-B)+n(B-A)$
$n(A\bigtriangleup B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)$

टिप्पणी

चित्र-2 समुच्चयों का अंतर

समुच्चय $A-B,A\cap B$ और $B-A$ परस्पर असंयुक्त होते हैं अर्थात् इनमें से किसी दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि चित्र-2 में प्रदर्शित है।

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-== समुच्चयों का अंतर ==
+== परिचय ==
+समुच्चयों का अंतर महत्वपूर्ण और मौलिक समुच्चय सिद्धांत संक्रियाओं में से एक है। समुच्चयों के अंतर के अलावा संघ और प्रतिच्छेदन अन्य समुच्चय सिद्धांत संक्रियाएँ हैं। दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का अंतर फिर से एक समुच्चय है जिसमें <math>A</math> के तत्व उपस्थित हैं जो <math>B</math> में नहीं हैं।
+इस लेख में, आइए समुच्चयों के अंतर, उनके गुणों के साथ-साथ वेन आरेखों और हल किए गए उदाहरणों के बारे में अधिक जानें।
+== परिभाषा ==
 समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो <math>A</math> में हैं किंतु <math>B</math> में नहीं हैं, जब कि <math>A</math> और <math>B</math> को इसी क्रम में लिया जाए। प्रतीतात्मक रूप में इसे <math>A-B</math> लिखते हैं और “<math>A</math> अंतर <math>B</math>” पढ़ते हैं।
-'''उदाहरण 1:'''  मान लेते हैं कि <math>A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>, <math>B = \{2, 4, 6, 8\}</math> <math>A - B</math> और <math>B - A</math> ज्ञात कीजिए ।
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण 1:'''  मान लेते हैं कि <math>A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>, <math>B = \{2, 4, 6, 8\}</math>तब  <math>A - B</math> और <math>B - A</math> ज्ञात कीजिए ।
 '''हल''' हम प्राप्त करते हैं कि,<math>A - B = \{1, 3, 5\}</math>, क्योंकि अवयव <math>1, 3, 5</math> समुच्चय <math>A</math> में हैं किंतु <math>B</math> में नहीं हैं तथा <math>B - A = \{8\}</math>, क्योंकि अवयव <math>8</math>, <math>B</math> में है किंतु <math>A</math> में नहीं है। हम देखते हैं कि <math>A-B\neq B-A</math>
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 दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसा कि चित्र-1 में प्रदर्शित है। छायांकित भाग दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को दर्शाता है।
+== समुच्चयों के अंतर के गुणधर्म ==
+किसी भी दो समुच्चयों A और B के लिए, यहाँ समुच्चयों के अंतर के गुण दिए गए हैं। यहाँ, ∅ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है।
+* <math>A-B=A\cap B^0</math>
+* <math>A-A=\phi</math>
+* <math>A-\phi=A</math>
+* <math>\phi-A=A</math>
+* <math>A-B=A</math> यदि <math>A\cap B=\phi</math>
+* <math>A-B=B-A=\phi</math> यदि <math>A=B</math>
+* यदि  <math>A\subset B</math>, तब <math>A-B=\phi</math>
+* <math>n(A\bigtriangleup B)=n(A-B)+n(B-A)</math>
+* <math>n(A\bigtriangleup B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)</math>
 == टिप्पणी ==
 [[File:समुच्चयों का अंतर-2.jpg|thumb|चित्र-2 समुच्चयों का अंतर]]
 समुच्चय <math>A-B, A\cap B</math> और <math>B-A</math> परस्पर असंयुक्त होते हैं अर्थात् इनमें से किसी दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि चित्र-2 में प्रदर्शित है।