वास्तविक फलनों का बीजगणित

वास्तविक फलनों का बीजगणित वास्तविक-मूल्यवान फलनों पर निष्पादित बीजीय संक्रियाओं का अध्ययन है, जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

वास्तविक फलनों का बीजगणित उन फलनों पर बीजीय संचालन का अध्ययन है जिनके निर्गम(आउटपुट) वास्तविक संख्या में होते हैं:

जोड़: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

घटाव: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

गुणन: $(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)$

विभाजन: $\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ जहाँ $g(x)\neq 0$

परिचय

इस अनुच्छेद में, हम सीखेंगे कि किस प्रकार दो वास्तविक फलनों को जोड़ा जाता है, एक वास्तविक फलन को दूसरे में से घटाया जाता है, एक वास्तविक फलन को किसी अदिश (यहाँ आदिश का अभिप्राय वास्तविक संख्या से है) से गुणा किया जाता है, दो वास्तविक फलनों का गुणा किया जाता है तथा एक वास्तविक फलन को दूसरे से भाग दिया जाता है।

(i) दो वास्तविक फलनों का योग मान लीजिए कि $f:X\rightarrow R$ तथा $g:X\rightarrow R$ कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $X\subset R$ तब हम $(f+g):X\rightarrow R$ को, सभी $x\in X$ के लिए, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$द्वारा परिभाषित करते हैं।

(ii) एक वास्तविक फलन में से दूसरे को घटाना मान लीजिए कि $f:X\rightarrow R$ तथा $g:X\rightarrow R$ कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $X\subset R$ तब हम $(f-g):X\rightarrow R$ को, सभी $x\in X$ के लिए $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$, द्वारा परिभाषित करते हैं।

(iii) एक अदिश से गुणा मान लीजिए कि $f:X\rightarrow R$ एक वास्तविक मान फलन है तथा $\alpha$ एक अदिश है। यहाँ अदिश से हमारा अभिप्राय किसी वास्तविक संख्या से है। तब गुणनफल $\alpha f$, $X$ से $R$ में एक फलन है, जो $(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$,