असमिकाएँ

गणित में, असमानता तब होती है जब दो गणितीय अभिव्यक्तियों या दो संख्याओं के बीच एक गैर-बराबर तुलना की जाती है। सामान्य तौर पर, असमानताएँ या तो संख्यात्मक असमानता या बीजीय असमानता या दोनों का संयोजन हो सकती हैं। रैखिक असमानताएँ वे असमानताएँ हैं जिनमें कम से कम एक रैखिक बीजीय व्यंजक शामिल होता है, यानी, डिग्री 1 के एक बहुपद की तुलना 1 से कम या उसके बराबर डिग्री के दूसरे बीजीय व्यंजक से की जाती है। विभिन्न प्रकार की रैखिक असमानताओं को दर्शाने के कई तरीके हैं।

इस लेख में, आइए रैखिक असमानताओं, रैखिक असमानताओं को हल करने, रैखिक असमानताओं का ग्राफ़ बनाने के बारे में जानें।

रैखिक असमानताओं को ऐसे व्यंजकों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें असमानता प्रतीकों का उपयोग करके दो रैखिक व्यंजकों की तुलना की जाती है। रैखिक असमानताओं को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले पाँच प्रतीक नीचे सूचीबद्ध हैं:

Symbol Name	Symbol	Example
Not equal	≠	x ≠ 3
Less than	(<)	x + 7 < √2
Greater than	(>)	1 + 10x > 2 + 16x
Less than or equal to	(≤)	y ≤ 4
Greater than or equal to	(≥)	-3 - √3x ≥ 10

हमें यह ध्यान रखना होगा कि यदि, p < q, तो p कुछ ऐसी संख्या है जो q से बिल्कुल कम है। यदि p ≤ q, तो इसका मतलब है कि p कुछ ऐसी संख्या है जो या तो q से बिल्कुल कम है या q के बिल्कुल बराबर है। इसी तरह, यही बात शेष दो असमानताओं > (से बड़ी) और ≥ (से बड़ी या बराबर) पर भी लागू होती है।

अब, मान लीजिए कि हमारे पास एक रैखिक असमानता है, 3x - 4 < 20। इस मामले में LHS < RHS। हम देख सकते हैं कि बाईं ओर का व्यंजक, यानी 3x - 4 वास्तव में दाईं ओर की संख्या से कम है, जो 20 है। हम इस असमानता को एक तौलने वाले पैमाने पर चित्रात्मक रूप से इस प्रकार दर्शा सकते हैं:

रैखिक असमानताओं के नियम

रैखिक असमानताओं पर किए जाने वाले 4 प्रकार के ऑपरेशन जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमानताओं को समतुल्य असमानता कहा जाता है। समानता और असमानता दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम (≤) से कम या बराबर और (≥) से अधिक या बराबर वाली असमानताओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमानताओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमानता के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।

रैखिक असमानताओं का योग नियम:

रैखिक असमानताओं के योग नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।

यदि x > y, तो x + a > y + a और यदि x < y, तो x + a < y + a.

रैखिक असमानताओं का घटाव नियम:

रैखिक असमानताओं के घटाव नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या घटाने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।

यदि x > y, तो x − a > y − a और यदि x < y, तो x − a < y − a.

रैखिक असमानताओं का गुणन नियम:

रैखिक असमानताओं के गुणन नियम के अनुसार, असमानता के दोनों पक्षों पर धनात्मक संख्या से गुणा करने पर हमेशा समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।

यदि x > y तथा a > 0, तो x × a > y × a तथा यदि x < y तथा a > 0, तो x × a < y × a, यहाँ, × का उपयोग गुणन चिह्न के रूप में किया जाता है।

दूसरी ओर, ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों पर गुणन करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न नहीं होती है, जब तक कि हम असमानता चिह्न की दिशा को उलट न दें।

यदि x > y तथा a < 0, तो x × a < y × a तथा यदि x < y तथा a < 0, तो x × a > y × a।

रैखिक असमानताओं का विभाजन नियम:

रैखिक असमानताओं के विभाजन नियम के अनुसार, किसी असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता चिह्न नहीं बदलता है।

यदि x > y तथा a > 0, तो (x/a) > (y/a) तथा यदि x < y तथा a > 0, तो (x/a) < (y/a)।

दूसरी ओर, यदि असमानता के प्रतीक को उलट दिया जाए, तो ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों का विभाजन समतुल्य असमानता उत्पन्न करता है।

यदि x > y तथा a < 0, तो (x/a) < (y/a) तथा यदि x < y तथा a < 0, तो (x/a) > (y/a)

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

रैखिक असमानताओं का अध्ययन करते समय याद रखने योग्य कुछ बिंदुओं की सूची यहां दी गई है:

• रैखिक असमानताओं के मामले में, LHS और RHS के बीच कम या अधिक जैसे कुछ अन्य संबंध मौजूद होते हैं।
• रैखिक असमानता को चर की उच्चतम शक्ति (घातांक) 1 होने के कारण ऐसा कहा जाता है।
• "से कम" और "से अधिक" सख्त असमानताएं हैं जबकि "से कम या बराबर" और "से अधिक या बराबर" सख्त रैखिक असमानताएं नहीं हैं।
• हर रैखिक असमानता के लिए जो सख्त रैखिक असमानता का उपयोग करती है, x के लिए प्राप्त मूल्य एक खोखले बिंदु द्वारा दिखाया जाता है। यह दर्शाता है कि प्राप्त मूल्य को बाहर रखा गया है।
• हर रैखिक असमानता के लिए जो सख्त असमानता नहीं है, x के लिए प्राप्त मूल्य एक ठोस बिंदु द्वारा दिखाया गया है। यह दर्शाता है कि प्राप्त मूल्य शामिल है।