प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म: Difference between revisions

Revision as of 16:21, 27 November 2024

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।

परिचय

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन और रेंज को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की रेंज और डोमेन में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन $sin,cos,tan,cosec,sec$ और $cot$ हैं। दूसरी ओर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को $sin^{-1}x,cos^{-1}x,cot^{-1}x,tan^{-1}x,cosec^{-1}x$ और $sec^{-1}x$ के रूप में दर्शाया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना शामिल होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म

निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचानों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।

1) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण-

sin-1 1x = cosec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।

cos-1 1x = sec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।

tan -1 1x = = cot-1 x, बशर्ते x या तो शून्य से बड़ा हो।

अब, आइए पहला गुण सिद्ध करें।

माना sec-1 x = y.

इसलिए, x = sec y,

1x = cos y

इसलिए, cos-1 1x = y

या, cos-1 1x = sec-1 x

2) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण

sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।

tan-1(-x) = – tan-1 x, जहाँ x ∈ R.

cosec-1(-x) = – cosec-1 x, x 1

अब, आइए एक उदाहरण की मदद से दूसरे गुण को सिद्ध करें।

मान लें tan-1(-x) = y…. (1)

फिर, (-x) = tan y

इसलिए, x = – tan y

x = tan (-y)

tan-1 x = (-y) = {y का मान समीकरण 1 से बदलें)

tan-1 x = – tan-1(-x)

3) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण

cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।

sec-1(-x) = – sec-1 x, x 1.

cot-1(-x) = – cot-1 x, जहाँ x ∈ R.

अब आइए तीसरा गुण सिद्ध करें।

मान लीजिए cot–1 (–x) = y

– x = cot y

ताकि x = – cot y = cot (π – y)

इसलिए, cot–1 x = π – y = π – cot–1 (–x)

इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x

4) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण

sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।

tan-1 x + cot-1 x = 2, जहाँ x ∈ R.

cosec-1 x + sec-1 x = 2, x 1.

अब, आइए चौथे गुण को सिद्ध करें।

मान लीजिए tan-1 x = y.

फिर, x = cot y

X = cot (2 – y)

cot-1x = 2 – y = 2 – tan-1x

इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2

5) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण

tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.

tan-1 x – tan-1 y = tan-1x-y1+xy, यदि xy > -1.

tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.

6) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण

2tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.

2tan-1 x = cos-11-x21+ x2, x 0.

2tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि x या तो -1 से बड़ा है या 1 से छोटा है।

उदाहरण

प्रश्न - सिद्ध कीजिये " $sin^{-1}(-x)=-sin^{-1}x,x\in [-1,1]$ "

उत्तर- मान लीजिए,

$sin^{-1}(-x)=y$

तो

$x=-siny$

$x=sin(-y)$

अत:

निष्कर्ष

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।

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 == परिचय ==
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन और रेंज को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की रेंज और डोमेन में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन sin, cos, tan, cosec, sec और cot हैं। दूसरी ओर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को sin-1x, cos-1x, cot-1 x, tan-1 x, cosec-1 x और sec-1 x के रूप में दर्शाया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना शामिल होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।
+व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन और रेंज को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की रेंज और डोमेन में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन <math>sin, cos, tan, cosec, sec</math> और <math>cot</math> हैं। दूसरी ओर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को <math>sin^{-1}x, cos^{-1}x, cot^{-1} x, tan^{-1} x, cosec^{-1} x</math> और <math>sec^{-1} x</math> के रूप में दर्शाया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना शामिल होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।
 == व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म ==
 निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचानों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण-
+) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण-
 sin-1 1x = cosec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।
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 या, cos-1 1x = sec-1 x
-उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण
+) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण
 sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।
@@ Line 49: / Line 49: @@
 tan-1 x = – tan-1(-x)
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण
+) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण
 cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।
@@ Line 69: / Line 69: @@
 इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x
-उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण
+) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण
 sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।
@@ Line 89: / Line 89: @@
 इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2
-उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण
+) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण
 tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.
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 tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण
+) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण
 tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.
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 tan-1 x = cos-11-x21+ x2, x 0.
-tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि x या तो -1 से बड़ा है या 1 से छोटा है.
+tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि x या तो -1 से बड़ा है या 1 से छोटा है।
-जबकि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचान और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-
+== उदाहरण ==
+'''प्रश्न''' -       सिद्ध कीजिये  " <math>sin^{-1}(-x)=-sin^{-1}x, x\in[-1,1]</math>"
-cos-1 x = cos-1 (2×2 – 1)
+'''उत्तर'''-  मान लीजिए,
-sin-1x = sin-1 2x√(1 – x2)
+<math>sin^{-1}(-x) = y </math>
-sin-1x = sin-1(3x – 4×3)
+तो
-cos-1 x = cos-1 (4×3 – 3x)
+<math>x=-sin y</math>
-tan-1x = tan-1((3x – x3/1 – 3×2))
+<math>x =sin(-y)</math>
-sin-1x + sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
-sin-1x – sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
-cos-1 x + cos-1 y = cos-1 [xy – √{(1 – x2)(1 – y2)}]
+अत:
-cos-1 x – cos-1 y = cos-1 [xy + √{(1 – x2)(1 – y2)}
-tan-1 x + tan-1 y = tan-1(x + y/1 – xy)
-tan-1 x – tan-1 y = tan-1(x – y/1 + xy)
-tan-1 x + tan-1 y +tan-1 z = tan-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)
-==व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन श्रेणी और डोमेन तालिका==
-{| class="wikitable"
-|Functions
-|Range
-|Domain
-|-
-|y = sin-1 x
-|<nowiki>-2 , 2</nowiki>
-|<nowiki>-1, 1</nowiki>
-|-
-|y = cos-1 x
-|0, π
-|<nowiki>-1, 1</nowiki>
-|-
-|y = cosec-1 x
-|<nowiki>-2 , 2</nowiki>
-|R – (-1, 1)
-|-
-|y = sec-1 x
-|0, π- 2
-|R – (-1, 1)
-|-
-|y = tan-1 x
-|<nowiki>-2 , 2</nowiki>
-|R
-|-
-|y = cot-1 x
-|0, π
-|R
-|}
-== व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन समस्याएँ और समाधान ==
-समस्या 1- sin-1 (sin (4)) का मान क्या है?
-समाधान 1- जैसा कि हम जानते हैं, sin-1 (sin x) = x
-इसलिए, sin-1 (sin (4)) का मान = 4
-समस्या 2- सिद्ध करें कि tan-1211 + tan-1724= tan-112
-समाधान 2- Tan-1x + Tan-1y = Tan-1x+y1-xy
-tan-1211 + tan-1724= tan-1211+7241-211724
-= tan-1 48+7724×1111×24-1424×11 = tan-1 125250
-= tan-112
-इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि tan-1211 + tan-1724= tan-112
-समस्या 3 – sin-1-12 का मुख्य मान क्या है?
-समाधान 3 –
-हम जानते हैं कि -1 से 1 की सीमा में आने वाले x के सभी मानों के लिए, Sin-1(-x) = – sin-1 x.
-इसलिए, y = sin-1-12
-चूँकि, sin 6 = 12
-इसलिए, sin-112 = 6
-इसलिए, y = sin-1-sin 6 = 6
-इसलिए, sin-1-12 का मुख्य मान = 6
 == निष्कर्ष ==
 गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम कार्यों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।
+प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।
-जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।
+जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः  भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।
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