सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम

सदिश योग के नियम

सदिश योग के दो नियम हैं।

1. त्रिभुज नियम
2. समांतर चतुर्भुज नियम

इन दो नियमों का उपयोग करके, हम यह साबित करने जा रहे हैं कि दो सदिशों का योग उन्हें शीर्ष से अन्त्य तक जोड़कर प्राप्त किया जाता है और सदिश योग उस सदिश द्वारा दिया जाता है जो मुक्त अन्त्य और मुक्त शीर्ष को जोड़ता है।

सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो सदिशों को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।

इस लेख में, हम सदिशों के योग के समांतर चतुर्भुज नियम, इसके सूत्र, कथन और प्रमाण का पता लगाएंगे।

परिभाषा

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम ज्यामितीय रूप से सदिशों को जोड़ने की प्रक्रिया है। यह नियम कहता है, "दो सदिशों को एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के रूप में इस तरह व्यवस्थित किया जा सकता है कि उनकी अन्त्य एक दूसरे से जुड़ी हों और दो सदिशों का योग उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर हो जिसकी अन्त्य दो सदिशों के समान हो"।

नीचे दिए गए चित्र में सदिश $P$ और $Q$ पर विचार करें। उनका योग ज्ञात करने के लिए:

चरण 1: सदिश $P$ और $Q$ को इस तरह बनाएँ कि उनकी अन्त्य एक दूसरे को स्पर्श करें।

चरण 2: अन्य दो भुजाएँ खींचकर समांतर चतुर्भुज को पूरा करें।

चरण 3: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण जिसकी अन्त्य सदिश $P$ और $Q$ के समान है, दो सदिशों के योग को दर्शाता है।

अर्थात, $P+Q=R$ ।

ध्यान दे: यहाँ, सदिश $R$ को परिणामी सदिश ($P$ और $Q$ का) कहा जाता है।

समांतर चतुर्भुज सदिश नियम सूत्र

दो सदिश $P$ और $Q$ पर विचार करें जिनके बीच $\theta$ कोण है। सदिश $P$ और $Q$ का योग सदिश $R$ द्वारा दिया जाता है, जो सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए परिणामी योग सदिश है। यदि परिणामी सदिश $R$ सदिश $P$ के साथ $\beta$ कोण बनाता है, तो इसके परिमाण और दिशा के सूत्र हैं:

• $|R|={\sqrt {(P^{2}+Q^{2}+2PQcos\theta )}}$
• $\beta =tan^{-1}[(Qsin\theta )/(P+Qcos\theta )]$

हम नीचे दिए गए अनुभाग में इन सूत्रों का प्रमाण देखेंगे।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम प्रमाण

आइए सबसे पहले सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम का कथन देखें:

सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का कथन: यदि दो सदिशों को एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो उनका परिणामी योग सदिश उसी बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा पूरी तरह से दर्शाया जाता है।

अब, समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हम दो सदिश $P$ और $Q$ पर विचार करते हैं, जो समांतर चतुर्भुज $OB,CA$ की दो आसन्न भुजाओं $OB$और $OA$द्वारा क्रमशः दर्शाए जाते हैं। दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है। इन दो सदिशों का योग समांतर चतुर्भुज के एक ही शीर्ष $O$ से खींचे गए विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है, परिणामी योग सदिश $R$ जो सदिश $P$ के साथ $\beta$ कोण बनाता है।

सदिश $P$ को $D$ तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि $CD,OD$ पर लंबवत हो। चूँकि $OB,AC$ के समानांतर है, इसलिए कोण $AOB$ कोण, $CAD$ के बराबर है क्योंकि वे संगत कोण हैं, अर्थात कोण $CAD=\theta$। अब, सबसे पहले, हम परिणामी सदिश $R$ (भुजा $OC$) के परिमाण का सूत्र निकालेंगे। ध्यान दें कि

• $|P|=P$
• $|Q|=Q$
• $|R|=R$

समकोण त्रिभुज $OCD$ में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

$OC^{2}=OD^{2}+DC^{2}$

$\Rightarrow OC^{2}=(OA+AD)^{2}+DC^{2}---(1)$

समकोण त्रिभुज $CAD$ में, हमारे पास है

$cos\theta =AD/AC$ और $sin\theta =DC/AC$