सप्रतिबंध प्रायिकता: Difference between revisions

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Conditional Probabilityसशर्त संभावना, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की संभावना है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की संभावना 95% (0.95) है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की संभावना कम है जो कि 10% (0.1) है। तो पहला मामला सामान्य संभावना है जबकि दूसरा मामला सशर्त संभावना है। इस उदाहरण में, हम दो संभावनाओं को P(टेनिस खेलें) = 0.95 और P(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) = 0.1 के रूप में दर्शाते हैं।
सप्रतिबंध  प्रायिकता , जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता  है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की प्रायिकता  <math>95% (0.95)</math> है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की प्रायिकता  कम है जो कि <math>10% (0.1)</math> है। तो पहला मामला सामान्य प्रायिकता  है जबकि दूसरा मामला सप्रतिबंध  प्रायिकता  है। इस उदाहरण में, हम दो प्रायिकता ओं को <math>P</math>(टेनिस खेलें) <math>= 0.95</math> और <math>P</math>(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) <math>= 0.1</math> के रूप में दर्शाते हैं।


आइए सशर्त संभावना के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।
आइए सप्रतिबंध  प्रायिकता  के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।


सशर्त संभावना क्या है? सशर्त संभावना संभावना और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "B दिए जाने पर A की संभावना" (या) "स्थिति B के संबंध में A की संभावना" को सशर्त संभावना P(A | B) (या) P (A / B) (या) PB
सप्रतिबंध  प्रायिकता  प्रायिकता और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "<math>B</math> दिए जाने पर <math>A</math> की प्रायिकता " (या) "स्थिति <math>B</math> के संबंध में <math>A</math> की प्रायिकता " को सप्रतिबंध  प्रायिकता <math>P(A | B)</math> (या) <math>P (A / B)</math> (या) <math>P_B (A)</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, <math>P(A | B)</math>, <math>A</math> की प्रायिकता  को दर्शाता है जो घटना <math>B</math> के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की प्रायिकता  बदल सकती है।


(A) द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, P(A | B) A की संभावना को दर्शाता है जो घटना B के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की संभावना बदल सकती है।
== परिभाषा ==
यदि <math>A</math> और <math>B</math> एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सप्रतिबंध  प्रायिकता  यह देखते हुए कि <math>B</math> घटित हुई है, <math>P(A/B) = P(A \cap B)/ P (B)</math> द्वारा दी जाती है, बशर्ते <math>P(B) \neq 0</math> हो।


सशर्त संभावना की परिभाषा
आइए एक उदाहरण के साथ सप्रतिबंध  प्रायिकता  को समझें। आइए कम से कम दो पूंछ प्राप्त करने की सप्रतिबंध  प्रायिकता  का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली टॉस पर सिर आता है। नमूना स्थान, <math>S</math> (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:


यदि A और B एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सशर्त संभावना यह देखते हुए कि B घटित हुई है, P(A/B) = P(A ∩ B)/ P (B) द्वारा दी जाती है, बशर्ते P(B) ≠ 0 हो।
आइए हम दो घटनाओं <math>A</math> और <math>B</math> को इस प्रकार मानें:


आइए एक उदाहरण के साथ सशर्त संभावना को समझें। आइए कम से कम दो पूंछ प्राप्त करने की सशर्त संभावना का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली टॉस पर सिर आता है। नमूना स्थान, S (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:
<math>A =</math> कम से कम दो टेल आने की घटना


आइए हम दो घटनाओं A और B को इस प्रकार मानें:
<math>B = </math> पहली टॉस पर चित आने की घटना


A = कम से कम दो टेल आने की घटना
फिर<math>, A = {HTT, THT, TTH, TTT}</math> और <math>B = {HHH, HHT, HTH, HTT}</math>


B = पहली टॉस पर चित आने की घटना
फिर <math>P(A) = 4/8 = 1/2</math> और<math>P(B) = 4/8 = 1/2</math>


फिर, A = {HTT, THT, TTH, TTT} और B = {HHH, HHT, HTH, HTT}.
हमें कम से कम दो टेल आने की प्रायिकता  ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहली टॉस पर चित आए. इसका मतलब है कि <math>B</math> के सभी तत्वों में से हमें केवल दो टेल वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि <math>B</math> के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो टेल हैं. इस प्रकार, अपेक्षित प्रायिकता  <math>P(A | B) = 1/4</math> (<math>B</math> के 4 परिणामों में से <math>B</math> का केवल 1 परिणाम <math>A</math> के अनुकूल है) है.


फिर P(A) = 4/8 = 1/2 और P(B) = 4/8 = 1/2.
== सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र ==
उपर्युक्त उदाहरण में, हमें <math>P(A | B) = 1/4</math> मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो " <math>A</math> और <math>B</math>" दोनों में मौजूद है और <math>4,  B</math> में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सप्रतिबंध  संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।


हमें कम से कम दो टेल आने की संभावना ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहली टॉस पर चित आए. इसका मतलब है कि B के सभी तत्वों में से हमें केवल दो टेल वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि B के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो टेल हैं. इस प्रकार, अपेक्षित संभावना P(A | B) = 1/4 (B के 4 परिणामों में से B का केवल 1 परिणाम A के अनुकूल है) है.
<math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math>(ध्यान दें कि यहाँ <math>P(B) \neq 0</math> है)


सशर्त संभाव्यता सूत्र
इसी तरह, हम <math>P(B | A)</math> को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:


उपर्युक्त उदाहरण में, हमें P(A | B) = 1/4 मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो "A और B" दोनों में मौजूद है और 4 B में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सशर्त संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।
<math>P(B | A) = P(A \cap B) / P(A)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(A) \neq 0</math> है)


P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (ध्यान दें कि यहाँ P(B) ≠ 0 है)
इन सूत्रों को सप्रतिबंध  संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।


इसी तरह, हम P(B | A) को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) (ध्यान दें कि यहाँ P(A) ≠ 0 है)
इन सूत्रों को सशर्त संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।




Line 41: Line 38:
यहाँ:
यहाँ:


* P(A | B) = A की संभावना B दिए जाने पर (या) A की संभावना जो B के बाद होती है
* P(A | B) = A की प्रायिकता  <math>B</math> दिए जाने पर (या) <math>A</math> की प्रायिकता  जो <math>B</math> के बाद होती है
* P(B | A) = B की संभावना A दिए जाने पर (या) B की संभावना जो A के बाद होती है
* P(B | A) = B की प्रायिकता  <math>A</math> दिए जाने पर (या) <math>B</math> की प्रायिकता  जो <math>A</math> के बाद होती है
* P(A ∩ B) = A और B दोनों के होने की संभावना
* P(A ∩ B) = A और <math>B</math> दोनों के होने की प्रायिकता
* P(A) = A की संभावना
* P(A) = A की प्रायिकता
* P(B) = B की संभावना
* P(B) = B की प्रायिकता
 
सशर्त संभावना की व्युत्पत्ति


ध्यान दें कि B के वे तत्व जो घटना A के पक्ष में हैं, A और B के सामान्य तत्व हैं। यानी A ∩ B के नमूना बिंदु।
== सप्रतिबंध  प्रायिकता की व्युत्पत्ति ==
ध्यान दें कि <math>B</math> के वे तत्व जो घटना <math>A</math> के पक्ष में हैं, <math>A</math> और <math>B</math> के सामान्य तत्व हैं। यानी <math>A \cap B</math> के नमूना बिंदु।


इस प्रकार P(A/B) = A ∩ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या ÷ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या।
इस प्रकार P(A/B) = A ∩ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या ÷ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या।


P(A/B) = n(A∩B)n(S)n(B)n(S)
P(A/B) = n(A∩B)n(S)n(B)n(S)
Line 57: Line 53:
Thus P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Thus P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)


सशर्त प्रायिकता के गुण
== सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म ==
 
यहाँ सप्रतिबंध  प्रायिकता के कुछ गुणधर्म और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुणधर्म सप्रतिबंध  प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।
यहाँ सशर्त प्रायिकता के कुछ गुण और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुण सशर्त प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।


गुण 1
=== गुणधर्म 1 ===
 
मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> कोई भी घटना है। फिर
मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और A कोई भी घटना है। फिर


P(S | A) = P(A | A) = 1.
P(S | A) = P(A | A) = 1.
Line 77: Line 71:
Hence property 1 is proved.
Hence property 1 is proved.


गुण 2
=== गुणधर्म 2 ===
 
मान लीजिए कि <math>S</math> किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे <math>P(E) \neq 0</math> है। तब <math>P((A \cup B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math>
मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और A और B कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे P(E) ≠ 0 है। तब P((A ⋃ B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E).


प्रमाण:
प्रमाण:


सशर्त प्रायिकता के सूत्र द्वारा,
सप्रतिबंध  प्रायिकता के सूत्र द्वारा,


P((A ⋃ B) | E) = [P((A ⋃ B) ∩ E)] / P(E)
P((A ⋃ B) | E) = [P((A ⋃ B) ∩ E)] / P(E)
Line 97: Line 90:
Hence property 2 is proved.
Hence property 2 is proved.


=== Property 3 ===
=== गुणधर्म 3 ===
P(A' | B) = 1 - P(A | B), where A' is the complement of the set A.
P(A' | B) = 1 - P(A | B), where A' is the complement of the set <math>A</math>.


'''Proof:'''
'''Proof:'''
Line 108: Line 101:
P( A ⋃ A' | B) = 1
P( A ⋃ A' | B) = 1


Since A and A' are disjoint events,
Since <math>A</math> and A' are disjoint events,


P(A | B) + P(A' | B) = 1
P(A | B) + P(A' | B) = 1

Revision as of 12:04, 18 December 2024

सप्रतिबंध प्रायिकता , जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की प्रायिकता है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की प्रायिकता कम है जो कि है। तो पहला मामला सामान्य प्रायिकता है जबकि दूसरा मामला सप्रतिबंध प्रायिकता है। इस उदाहरण में, हम दो प्रायिकता ओं को (टेनिस खेलें) और (टेनिस खेलें | बरसात का दिन) के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सप्रतिबंध प्रायिकता के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सप्रतिबंध प्रायिकता प्रायिकता और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। " दिए जाने पर की प्रायिकता " (या) "स्थिति के संबंध में की प्रायिकता " को सप्रतिबंध प्रायिकता (या) (या) द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, , की प्रायिकता को दर्शाता है जो घटना के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की प्रायिकता बदल सकती है।

परिभाषा

यदि और एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सप्रतिबंध प्रायिकता यह देखते हुए कि घटित हुई है, द्वारा दी जाती है, बशर्ते हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सप्रतिबंध प्रायिकता को समझें। आइए कम से कम दो पूंछ प्राप्त करने की सप्रतिबंध प्रायिकता का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली टॉस पर सिर आता है। नमूना स्थान, (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो घटनाओं और को इस प्रकार मानें:

कम से कम दो टेल आने की घटना

पहली टॉस पर चित आने की घटना

फिर और

फिर और