लीलावती में 'गुणोत्तर श्रेढ़ी'

भूमिका

गणित में, एक गुणोत्तर श्रेढ़ी, जिसे एक गुणोत्तर अनुक्रम के रूप में भी जाना जाता है, गैर-शून्य संख्याओं का एक अनुक्रम होता है, जहां पहले के बाद प्रत्येक पद पिछले एक को एक निश्चित, गैर-शून्य संख्या से गुणा करके पाया जाता है जिसे सार्व अनुपात कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ... 3 के सामान्य अनुपात के साथ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसी प्रकार 10, 5, 2.5, 1.25, ... एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसका सामान्य अनुपात 1/ 2.

श्लोक सं॰ 136

विषमे गच्छे व्येके गुणकः स्थाप्यः समेऽर्धिते वर्गः ।

गच्छक्षयान्तमन्त्याद् व्यस्तं गुणवर्गजं फलं यत्तत् ।

व्येकं व्येकगुणोद्धृतमादिगुणं स्यात् गुणोत्तरे गणितम् ॥

यदि n, एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P) में पदों की संख्या विषम है, तो (n-1) को 'गुणक' (M) कहा जाता है, और यदि यह सम है, तो ${\frac {n}{2}}$ को 'वर्ग' (S) कहा जाता है [ भास्कराचार्य की शब्दावली ] अब n से शुरू करते हुए, इस प्रक्रिया को (n-1) विषम के लिए और ${\frac {n}{2}}$ के लिए तब तक जारी रखें जब तक कि 0 न हो जाए। फिर सार्व अनुपात (C.R) r को 0 के सम्मुख रखते हुए M या S को विपरीत दिशा में लिखना शुरू करें। संचालन करें और फिर अंतिम परिणाम से 1 घटाएं और इसे (r-1) से विभाजित करें। परिणाम आवश्यक योग है।

टिप्पणी: मान लीजिए a = 1, n = 31, r = 2। उपरोक्त विधि का उपयोग करके हम तालिका प्राप्त करते हैं:

31	30	15	14	7	6	3	2	1	0
	M	S	M	S	M	S	M	S	M

31 से शुरू करते हुए हम लिखते हैं 31-1 = 30, ${\frac {30}{2}}$ = 15 , 15-1 = 14 , ${\frac {14}{2}}$ = 7 …. जब तक हम 0 पर नहीं पहुँच जाते। फिर दूसरी पंक्ति में, हम M से शुरू करते हैं और बारी-बारी से M और S लिखते हैं।

अब हम संकेतित संचालन करते हैं। . M = गुणक, S = वर्ग जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

				सूचिपृष्ठ
30	M	2147483648		31
15	S	1073741824		30
14	M	32768		15
7	S	16384		14
6	M	128		7
3	S	64		6
2	M	8		3
1	S	4		2
0	M	2		1

$S=a+ar+ar^{2}+..+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+..+ar^{n-1}+ar^{n}$

$S(r-1)=ar^{n}-a$

$S={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}$

उदाहरण

आदिर्द्वयं सखे वृद्धिः प्रत्यहं त्रिगुणोत्तरा ।

गच्छ सप्तदिनं यत्र गणितं तत्र किं वद ॥

यदि a = 2, r = 3, n = 7, हे मित्र, योग क्या है?

टिप्पणी:

$S={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}={\frac {2(3^{7}-1)}{3-1}}={\frac {2(2187-1)}{3-1}}=2186$

यह भी देखें

Geometric Progression in Līlāvatī