वज्र-गुणनखंड विधि

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे आसान तरीकों में से एक है । आइए इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।

वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है ,

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ $...........(1)$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ $...........(2)$

जहां $a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}$ वास्तविक संख्याएं हैं ।

समीकरण $(1)$ को $b_{2}$ से और समीकरण $(2)$ को $b_{1}$ से गुणा करने पर ,

$b_{2}a_{1}x+b_{2}b_{1}y+b_{2}c_{1}=0$ $...........(3)$

$b_{1}a_{2}x+b_{1}b_{2}y+b_{1}c_{2}=0$ $...........(4)$

समीकरण $(4)$ को $(3)$ से घटाने पर ,

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x+(b_{2}b_{1}-b_{1}b_{2})y+b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}=0$

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x+b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}=0$

$(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}$

$x={\frac {b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

$x$ के प्राप्त मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर ,

$y={\frac {c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

अतः , समीकरणों का हल इस प्रकार दिया जाएगा ,

${\frac {x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}}={\frac {y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}}={\frac {1}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं ।

नोट

यदि $a_{1}a_{2}\neq b_{1}b_{2}$ है , तो हमें एक अद्वितीय हल मिलता है और दो चर में रैखिक समीकरणों की जोड़ी संगत होती है ।

यदि $a_{1}a_{2}=b_{1}b_{2}=c_{1}c_{2}$ , तो अनंत रूप से कई हल हैं और रेखाओं की जोड़ी आश्रित और सुसंगत है ।

यदि $a_{1}a_{2}=b_{1}b_{2}\neq c_{1}c_{2}$ , तो कोई हल नहीं है और दो चर में रैखिक समीकरणों की जोड़ी को असंगत है ।

उदाहरण 1

वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

$3x-4y=2$

$y-2x=7$

दिए गए समीकरण को दो चरों में रैखिक समीकरण के मानक रूप $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ , $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ में लिखने पर ,

$3x-4y-2=0$ $...........(1)$

$-2x+y-7=0$ $...........(2)$

अतः , समीकरण $(1)$ से , $a_{1}=3$ , $b_{1}=-4$ , $c_{1}=-2$ एवं समीकरण $(2)$ से $a_{2}=-2$ , $b_{2}=1$ , $c_{2}=-7$

वज्र गुणन विधि प्रयोग करने पर ,

${\frac {x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}}={\frac {y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}}={\frac {1}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}$

मान रखने पर ,

${\frac {x}{(-4)\times (-7)-1\times (-2)}}={\frac {y}{(-2)\times (-2)-(-7)\times 3}}={\frac {1}{1\times 3-(-4)\times (-2)}}$

${\frac {x}{28+2}}={\frac {y}{4+21}}={\frac {1}{3-8}}$

${\frac {x}{30}}={\frac {y}{25}}={\frac {1}{-5}}$

पदो को बराबर करने पर ,

${\frac {x}{30}}={\frac {1}{-5}}$

${\ce {x={\frac {-30}{5}}}}$

$x=-6$

${\frac {y}{25}}={\frac {1}{-5}}$

${\ce {y={\frac {-25}{5}}}}$

${\ce {y=-5}}$

अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल $x=-6,y=-5$ है ।