स्थिति सदिश तथा विस्थापन

Position vector and displacement

स्थिति सदिश, एक ऐसा सदिश है, जो एक संदर्भ बिंदु या उत्पत्ति के सापेक्ष, अंतरिक्ष में, एक बिंदु या वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। इसका उपयोग समन्वय प्रणाली में किसी वस्तु के स्थान का वर्णन करने के लिए किया जाता है। स्थिति सदिश प्रायः एक प्रतीक अक्षर (चिन्ह) पर ऊपर से तीर का चिन्ह बना कर दर्शाया जाता है, और इसकी लंबाई और दिशा वस्तु की स्थिति निर्धारित करती है। संदर्भ बिंदु या उत्पत्ति को प्रायः $(0,0)$ या केवल $o$ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण से समझ

द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली पर विचार करेने पर इस प्रणाली में, एक स्थिति सदिश को प्रायः $(x,y)$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहां $'x'$ क्षैतिज दूरी का प्रतिनिधित्व करता है और $'y'$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, यदि विस्थापन की गणना एक स्थिति सदिश $(3,4)$ है, तो इसका अर्थ है कि वस्तु दाईं ओर $3$ इकाई और मूल से $4$ इकाई ऊपर की ओर स्थित है।इस साधारण तरीके से किसी वस्तु के विस्थापन को मापा जा सकता है।

विस्थापन

विस्थापन एक सदिश राशि है जो अंतरिक्ष में किसी वस्तु या बिंदु की स्थिति में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती है। यह दिशा के साथ-साथ प्रारंभिक स्थिति और किसी वस्तु की अंतिम स्थिति के बीच की सीधी-रेखा की दूरी है। प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति के आधार पर विस्थापन धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

विस्थापन की गणना करने के लिए

साधारणतः प्रारंभिक स्थिति सदिश को अंतिम स्थिति सदिश से घटा का विस्थापन की गणना की जाती है।

गणितीय रूप से

विस्थापन सदिश ($\Delta r$) के रूप में चिह्नित

$\Delta r=r_{final}-r_{initial}$द्वारा दिया जाता है, जहां $r_{final}$अंतिम स्थिति सदिश है और $r_{initial}$प्रारंभिक प्रारंभिक स्थिति सदिश है।

उदाहरण के लिए

साधरण ,उदाहरण से पता करने पर ,यदि किसी कार्तीय अन्तरिक्ष में मूल बिन्दु ($(0,0)$से $(2,3)$की दूरी पर किसी सादिश का आरेख , उसके विस्थापन को इंगित करता है। इस विस्थापन को चित्र में दर्शाया गया है।

यदि यह मान लीया जाए कि कोई वस्तु स्थिति $A(2,3)$) से आरंभ होकर, स्थिति $B(5,7)$ तक पहुँच गई है । विस्थापन सदिश को खोजने के लिए, हम प्रारंभिक स्थिति सदिश को अंतिम स्थिति सदिश से घटाते हैं:

$\Delta r=r_{final}-r_{initial}$

$=(5,7)-(2,3)$

$=(3,4)$

तो, इस संदर्भ में विस्थापन सदिश $(3,4)$है, जिसका अर्थ है कि वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति से $3$ इकाई दाईं ओर और $4$ इकाई ऊपर की ओर चली गई।