आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम: Difference between revisions

Revision as of 13:15, 8 February 2024

किसी आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए आव्यूह के सहखंडज की आवश्यकता होती है।

आव्यूह का सहखंडज

आव्यूह $A$ का सहखंडज, $A$ के सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। वर्ग आव्यूह $A$ का सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) द्वारा निरूपित किया जाता है। मान लीजिए $A=[a_{ij}]$ , $n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है।

किसी आव्यूह का सहखंडज ज्ञात करने में सम्मिलित प्रक्रिया इस प्रकार हैं:

आव्यूह $A$ के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह $M$ को ज्ञात करें ।
आव्यूह $M$ के सभी उपसारणिक अवयवों का सहखंड आव्यूह $C$ को ज्ञात करें ।
सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त लेते हुए सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) को ज्ञात करें ।

$3\ X\ 3$ आव्यूह का सहखंडज

$A={\begin{bmatrix}2&-1&3\\0&5&2\\1&-1&-2\end{bmatrix}}$

प्रक्रिया 1: आव्यूह $A$ के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह $M$ को ज्ञात करें ।

पंक्ति 1:

$2={\begin{vmatrix}5&2\\-1&-2\end{vmatrix}}=(-10-(-2))=-10+2=-8$ का उपसारणिक

$-1={\begin{vmatrix}0&2\\1&-2\end{vmatrix}}=(0-2)=-2$ का उपसारणिक

$3={\begin{vmatrix}0&5\\1&-1\end{vmatrix}}=(0-5))=-5$ का उपसारणिक

पंक्ति 2:

$0={\begin{vmatrix}-1&3\\-1&-2\end{vmatrix}}=(2-(-3))=2+3=5$ का उपसारणिक

$5={\begin{vmatrix}2&3\\1&-2\end{vmatrix}}=(-4-3)=-7$ का उपसारणिक

$2={\begin{vmatrix}2&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=(-2-(-1))=-1$ का उपसारणिक

पंक्ति 3:

@@ Line 61: / Line 61: @@
 == आव्यूह का व्युत्क्रम ==
-The inverse of a matrix <math>A</math>, which is represented as <math>A^{-1}</math>, is found using the adjoint of a matrix.
+आव्यूह <math>A</math> का व्युत्क्रम, जिसे <math>A^{-1}</math> के रूप में दर्शाया जाता है, आव्यूह के सहखंडज का उपयोग करके पाया जाता है।
-A<sup>-1</sup> = (1/|A|) × adj(A). Here, <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>
+A<sup>-1</sup> = (1/|A|) × adj(A). यहाँ, <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>
-Here
+यहाँ
-* <math>\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}</math>= the determinant of <math>A</math>
+* <math>\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}</math>= <math>A</math> का सारणिक
-* <math>adj(A)</math>= adjoint of <math>A</math>
+* <math>adj(A)</math>= <math>A</math> का सहखंडज
-=== Inverse of a <math>3 \ X \ 3</math> Matrix ===
+=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का व्युत्क्रम ===
-determinant of <math>A =</math>  <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math>
+<math>A =</math>  <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math> का सारणिक
-Adjoint of Matrix <math>A =</math> <math>adj(A)</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>
+<math>A =</math> <math>adj(A)</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math> का सहखंडज
-Inverse of matrix <math>A =</math><math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>
+आव्यूह <math>A =</math><math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math> का व्युत्क्रम
 <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{-33}\right ] \times  \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{8}{33} & \frac{5}{33} & \frac{17}{33} \\ - \frac{2}{33} & \frac{7}{33} & \frac{4}{33} \\ \frac{5}{33} & - \frac{1}{33} &

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आव्यूह का सहखंडज

3 X 3{\displaystyle 3\ X\ 3} आव्यूह का सहखंडज

$3\ X\ 3$ आव्यूह का सहखंडज