वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ

यहां हम वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं की विधि को सीखेंगे।

वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं का नियम

• एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है।
• अपरिमेय संख्या के साथ एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय संख्या होती है।
• जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो हमारे पास है,

• ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$
• ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$
• $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})=a-b$

• $(a+{\sqrt {b}})(a-{\sqrt {b}})=a^{2}-b$
• $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {c}}+{\sqrt {d}})={\sqrt {ac}}+{\sqrt {ad}}+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {bd}}$
• $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}=a+2{\sqrt {ab}}+b$

उदाहरण

1.$({\sqrt {11}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {11}}-{\sqrt {b}})$

$11-7=4$

2.$({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}})^{2}$

$({\sqrt {3}})^{2}+2({\sqrt {3}})({\sqrt {7}})+({\sqrt {7}})^{2}$

$3+2({\sqrt {21}})+7$

$10+2({\sqrt {21}})$

3. $(5+{\sqrt {7}})(2+{\sqrt {5}})$

$10+5{\sqrt {5}}+2{\sqrt {7}}+{\sqrt {35}}$

4.$({\sqrt {7}}+{\sqrt {5}})({\sqrt {7}}-{\sqrt {5}})$

$({\sqrt {7}})^{2}-({\sqrt {5}})^{2}$

$7-5=2$