वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार: Difference between revisions

Revision as of 08:44, 7 May 2024

वास्तविक संख्या ${\frac {1}{7}},{\frac {10}{3}},{\frac {7}{8}}$ के लिए दशमलव प्रसार नीचे समझाया गया है।


${\frac {1}{7}}$								${\frac {10}{3}}$							${\frac {7}{8}}$
	0.142857.....									3.3333...						0.875
7	1	0							3	1	0				8	7	0
		7									9					6	4
		3	0								1	0					6	0
		2	8									9					5	6
			2	0								1	0					4	0
			1	4									9					4	0
				6	0								1	0					0
				5	6									9	शेष: 6,4,0. भाजक: 8
					4	0								1
					3	5			शेष: 1,1,1,1... भाजक: 3
						5	0
						4	9
							1
शेष: 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1... भाजक: 7

उपरोक्त विभाजन संक्रिया में

कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो $0$ हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।
शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है ( ${\frac {10}{3}}$ में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक $3$ है), ${\frac {1}{7}}$ में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ $326451$ हैं और भाजक $7$ है)
If the remainders repeat, then we get a repeating block of digits in the quotient (for ${\frac {10}{3}}$ , $3$ repeats in the quotient and for ${\frac {1}{7}}$ , repeating block $142857$ in the quotient)

The above pattern using the examples above is true for all rationals of the form ${\frac {p}{q}}$ ( $q\neq 0$ ).

On division of $p$ by $q$ , two main things happen – either the remainder becomes zero or never becomes zero and we get a repeating string of remainders.

The decimal expansion of real numbers can be classified into three types. They are:

@@ Line 120: / Line 120: @@
 भाजक: 7
 |}
-In the above division operation
+उपरोक्त विभाजन संक्रिया में
-* The remainders either become <math>0</math> after some stage, or start repeating themselves.
+* कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो <math>0 </math> हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।
-* The number of entries in the repeating string of remainders is less than the divisor (in <math>\frac{10}{3} </math> , one number repeats itself and the divisor is <math>3</math> , in <math>\frac{1}{7} </math> there are six entries <math>326451</math> in the repeating string of remainders and the divisor is <math>7</math> )
+* शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है (<math>\frac{10}{3} </math> में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक <math>3</math> है), <math>\frac{1}{7} </math> में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ <math>326451</math> हैं और भाजक <math>7</math>  है)
 *If the remainders repeat, then we get a repeating block of digits in the quotient (for <math>\frac{10}{3} </math> , <math>3</math> repeats in the quotient and for <math>\frac{1}{7} </math> , repeating block <math>142857</math>  in the quotient)
 The above pattern using the examples above is true for all rationals of the form <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>).
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 The decimal expansion of real numbers can be classified into three types. They are:
-* [[Terminating decimal expansions|Terminating Decimals]]
+* [[दशमलव प्रसार को सांत करना|दशमलव को सांत करना]]
-* [[Non-terminating recurring decimal expansions|Non-terminating and Repeating Decimals]]
+* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार|अनवसानी(असांत) और पुनरावर्ती दशमलव]]
-* [[Non-terminating recurring decimal expansions|Non-terminating and Non-repeating Decimals]]
+* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार|अनवसानी(असांत) और अपुनरावर्ती दशमलव]]
 [[Category:संख्या पद्धति]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-9]]