द्विघाती बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 22:38, 11 October 2024

द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात $2$ के समान होता है। द्विघाती बहुपद को द्वितीय-क्रम बहुपद के रूप में भी जाना जाता है।

परिभाषा

द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान $2$ के समान होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में दिया जाता है। यहां, $a$ और $b$ गुणांक हैं, $x$ अज्ञात चर है और $c$ है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि $x$ के दो मान हो सकते हैं।

उदाहरण

$x^{2}+4x+4=0$

इस समीकरण का हल खोजने के लिए हम इसका गुणनखंड इस प्रकार करते हैं

$x^{2}+4x+4=0$

$x^{2}+2x+2x+4$

$x(x+2)+2(x+2)$

$(x+2)(x+2)=0$

इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल $x=-2,x=-2$ होंगे

द्विघात बहुपद सूत्र

एकल चर द्विघात बहुपद का सामान्य सूत्र $ax^{2}+bx+c$ के रूप में दिया गया है। जब इस द्विघात बहुपद का प्रयोग समीकरण में किया जाता है तो इसे $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग द्विघात बहुपद वाले समीकरण का हल खोजने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करना, वर्गों को पूरा करना, ग्राफ़ का उपयोग करना और द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग करना हैं। इन सभी तकनीकों में से, किसी द्विघात बहुपद के मूल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका सूत्र का उपयोग करना है। इस पद्धति का एक अतिरिक्त लाभ यह है कि विवेचक का विश्लेषण करके कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। द्विघात बहुपद सूत्र नीचे दिया गया है:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

इस सूत्र को लागू करने के बाद प्राप्त होने वाले $x$ के दो मानों को द्विघात समीकरण के हल, शून्य या मूल के रूप में जाना जाता है।

मान $b^{2}-4ac$ को विभेदक कहा जाता है। इसे $D$ द्वारा दर्शाया जाता है। विभेदक का उपयोग करके जड़ों की प्रकृति निर्धारित की जा सकती है।

द्विघात बहुपद मूल

गुणनखंडन की विधि मात्र कुछ द्विघात बहुपदों पर ही लागू होती है। हालाँकि, द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग किसी भी प्रकार के द्विघात समीकरण के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, विभेदक के मान का उपयोग द्विघात बहुपद की जड़ों की प्रकृति का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। नीचे विभिन्न स्थितियाँ दी गई हैं जो जड़ों की प्रकृति का अनुमान लगाने में मदद कर सकती हैं:

$D>0$ : यदि विभेदक धनात्मक है, तो यह इंगित करता है कि मूल वास्तविक एवं पृथक हैं।
$D=0$ :यदि विभेदक का मान शून्य के समान है, तो दोनों मूल वास्तविक हैं तथा एक दूसरे के समान हैं।
$D<0$ : यदि विभेदक ऋणात्मक है तो दोनों मूल काल्पनिक संख्याएँ हैं।

द्विघात बहुपद मूलों का योग और गुणनफल

द्विघात बहुपद वाले समीकरण की जड़ों का उपयोग करके, जड़ों और गुणांकों के बीच एक संबंध स्थापित किया जा सकता है। किसी द्विघात बहुपद के मूलों का योग और गुणनफल गुणांकों और अचर पद का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए एक मूल $\alpha$ द्वारा दिया गया है और दूसरा मूल $\beta$ द्वारा दिया गया है।

एक द्विघात समीकरण, $ax^{2}+bx+c=0$ , जिसमें एक द्विघात बहुपद है, के लिए मूलों के योग और गुणनफल का सूत्र नीचे दिया गया है:

मूलों का योग: $\alpha +\beta =-$ $x$ का गुणांक/ $x^{2}=-{\frac {b}{a}}$ का गुणांक
मूलों का गुणनफल: $\alpha .\beta =$ स्थिरांक/

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 इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math>  होंगे
 == द्विघात बहुपद सूत्र ==
-The general formula of a single variable quadratic polynomial is given as <math>ax^2+bx+c</math>. When this quadratic polynomial is used in an equation it is expressed as <math>ax^2+bx+c=0</math>. There are many methods that can be used to find the solutions of an equation containing a quadratic polynomial. These methods are factorizing a quadratic equation, completing the squares, using graphs, and using the quadratic polynomial formula. Out of all these techniques, the simplest way to find the roots of a quadratic polynomial is by using the formula. An added benefit of this method is that several important conclusions can be made by analyzing the discriminant. The quadratic polynomial formula is given below:
+एकल चर द्विघात बहुपद का सामान्य सूत्र <math>ax^2+bx+c</math> के रूप में दिया गया है। जब इस द्विघात बहुपद का प्रयोग समीकरण में किया जाता है तो इसे <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग द्विघात बहुपद वाले समीकरण का हल खोजने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करना, वर्गों को पूरा करना, ग्राफ़ का उपयोग करना और द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग करना हैं। इन सभी तकनीकों में से, किसी द्विघात बहुपद के मूल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका सूत्र का उपयोग करना है। इस पद्धति का एक अतिरिक्त लाभ यह है कि विवेचक का विश्लेषण करके कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। द्विघात बहुपद सूत्र नीचे दिया गया है:
 <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
-The two values of <math>x</math> that are obtained after applying this formula are known as the solutions, the zeros or the roots of the quadratic equation.
+इस सूत्र को लागू करने के बाद प्राप्त होने वाले <math>x</math> के दो मानों को द्विघात समीकरण के हल, शून्य या मूल के रूप में जाना जाता है।
-The value <math>b^2-4ac</math> is called the discriminant. It is denoted by <math>D</math>.The nature of the roots can be determined by using the discriminant.
+मान <math>b^2-4ac</math> को विभेदक कहा जाता है। इसे <math>D</math> द्वारा दर्शाया जाता है। विभेदक का उपयोग करके जड़ों की प्रकृति निर्धारित की जा सकती है।
 == द्विघात बहुपद मूल ==
-The method of factorization is only applicable to certain quadratic polynomials. However, the quadratic polynomial formula can be used for any type of quadratic equation. Furthermore, the value of the discriminant can be used to analyze the nature of the roots of a quadratic polynomial. Given below are the various conditions that can help to predict the nature of the roots:
+गुणनखंडन की विधि मात्र कुछ द्विघात बहुपदों पर ही लागू होती है। हालाँकि, द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग किसी भी प्रकार के द्विघात समीकरण के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, विभेदक के मान का उपयोग द्विघात बहुपद की जड़ों की प्रकृति का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। नीचे विभिन्न स्थितियाँ दी गई हैं जो जड़ों की प्रकृति का अनुमान लगाने में मदद कर सकती हैं:
-* <math>D >0</math>: If the discriminant is positive, it indicates that the roots are real and distinct.
+* <math>D >0</math>: यदि विभेदक धनात्मक है, तो यह इंगित करता है कि मूल वास्तविक एवं पृथक हैं।
-* <math>D = 0</math>: If the value of the discriminant is equal to zero, then both the roots are real and are equal to each other.
+* <math>D = 0</math>:यदि विभेदक का मान शून्य के समान है, तो दोनों मूल वास्तविक हैं तथा एक दूसरे के समान हैं।
-* <math>D <0</math>: Both the roots are imaginary numbers if the discriminant is negative.
+* <math>D <0</math>: यदि विभेदक ऋणात्मक है तो दोनों मूल काल्पनिक संख्याएँ हैं।
 === द्विघात बहुपद मूलों का योग और गुणनफल ===
-Using the roots of the equation containing the quadratic polynomial, a relationship can be established between the roots and the coefficients. The sum and the product of the roots of a quadratic polynomial can be determined using the coefficients and the constant term. Suppose one root is given by <math>\alpha</math> and the other root is given by <math>\beta</math>
+द्विघात बहुपद वाले समीकरण की जड़ों का उपयोग करके, जड़ों और गुणांकों के बीच एक संबंध स्थापित किया जा सकता है। किसी द्विघात बहुपद के मूलों का योग और गुणनफल गुणांकों और अचर पद का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए एक मूल <math>\alpha</math> द्वारा दिया गया है और दूसरा मूल <math>\beta</math> द्वारा दिया गया है।
-. For a quadratic equation, <math>ax^2+bx+c=0</math>, containing a quadratic polynomial, the formula for the sum and product of roots is given below:
+एक द्विघात समीकरण, <math>ax^2+bx+c=0</math>, जिसमें एक द्विघात बहुपद है, के लिए मूलों के योग और गुणनफल का सूत्र नीचे दिया गया है:
-* '''Sum of roots:''' <math>\alpha +\beta=-</math>Coefficient of <math>x</math> / Coefficient of <math>x^2= -\frac{b}{a}</math>
+* '''मूलों का योग:''' <math>\alpha +\beta=-</math> <math>x</math> का गुणांक/  <math>x^2= -\frac{b}{a}</math>  का गुणांक
-* '''Product of roots:''' <math>\alpha .\beta=</math> Constant / Coefficient of <math>x^2= \frac{c}{a}</math>
+* '''मूलों का गुणनफल:''' <math>\alpha .\beta=</math> स्थिरांक/ <math>x^2= \frac{c}{a}</math> का गुणांक
-If the sum and product of the roots has been specified then the original quadratic polynomial can be obtained. This is given by
+यदि मूलों का योग और गुणनफल निर्दिष्ट किया गया है तो मूल द्विघात बहुपद प्राप्त किया जा सकता है। यह इस प्रकार दिया गया है
 <math>x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha.\beta=0</math>
-This can also be used to factor qudratic polynomials. Other methods for factorizing a quadratic polynomial will be listed in sections below.
+इसका उपयोग द्विघात बहुपदों के गुणनखंडन के लिए भी किया जा सकता है। द्विघात बहुपद के गुणनखंडन के लिए अन्य विधियाँ नीचे दिए गए अनुभागों में सूचीबद्ध की जाएँगी।
 == द्विघात बहुपद कैसे ज्ञात करें? ==
-A quadratic polynomial can be obtained by using the zeros or roots of the equation. Suppose the two roots are given as<math>-4</math> and <math>2</math>. The steps to find the quadratic polynomial are as follows:
+समीकरण के शून्यों या मूलों का उपयोग करके एक द्विघात बहुपद प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि दो मूल इस प्रकार दिए गए हैं <math>-4</math> और <math>2</math>. द्विघात बहुपद ज्ञात करने के चरण इस प्रकार हैं:
-* Step 1: Find the sum of the two roots. Sum of roots<math>=-4+2=-2</math>
+* चरण 1: दोनों मूलों का योग ज्ञात करें। मूलों का योग <math>=-4+2=-2</math>
-* Step 2: Find the product of the two roots. Product of roots<math>=-4 \times 2=-8</math>
+* चरण 2: दो मूलों का गुणनफल ज्ञात करें। मूलों का गुणनफल<math>=-4 \times 2=-8</math>
-* Step 3: Substitute these values in the expression <math>x^2-</math> (sum of the roots)<math>x+</math>(product of the roots). Thus, the quadratic polynomial is <math>x^2+2x-8</math>
+* चरण 3: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें <math>x^2-</math> (मूलों का योग)<math>x+</math>(मूलों का गुणनफल)। अत: द्विघात बहुपद <math>x^2+2x-8</math> है।
 == द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन कैसे करें? ==
-Generally, factorization can be considered as the reverse of multiplying two expressions. Few methods for factorization of quadratic polynomials are listed below:
+सामान्यतः, गुणनखंडन को दो व्यंजकों को गुणा करने के विपरीत माना जा सकता है। द्विघात बहुपदों के गुणनखंडन के लिए कुछ विधियाँ नीचे सूचीबद्ध हैं:
 === महत्तम समापवर्तक ===
-In this method, we have to look at all the terms and determine the common terms.
+इस पद्धति में, हमें सभी पदों को देखना होगा और सामान्य पदों का निर्धारण करना होगा।
-If there is a common term in the equation, we will factor it out for the polynomial.
+यदि समीकरण में कोई उभयनिष्ठ पद है, तो हम उसे बहुपद के लिए गुणनखंडित करेंगे।
-We use distributive law in reverse.
+हम वितरणात्मक नियम का उपयोग विपरीत पद्धति से करते हैं।
 <math>x(a+b)=xa+xb</math>
-We notice that each term has an ''''<math>x</math>'''<nowiki/>' in the equation and the common factor is taken out using the distributive law in reverse as follows,
+हम देखते हैं कि समीकरण में प्रत्येक पद में एक ''''<math>x</math>'''<nowiki/>' है और वितरण नियम का विपरीत उपयोग करते हुए समापवर्तक को इस प्रकार ज्ञात किया  जाता है,
 <math>xa+xb=x(a+b)</math>
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 '''उदाहरण'''
-What are the common factors of the terms in the quadratic polynomial equation <math>8x^2-4x=0 ?</math>
+द्विघात बहुपद समीकरण में पदों के महत्तम समापवर्तक क्या हैं  <math>8x^2-4x=0 ?</math>
 '''हल'''
-Let's apply the distributive law in reverse.
+आइए वितरणात्मक नियम को विपरीत रूप से लागू करें।
-'''<math>4x</math>''' is a common factor in the equation.
+समीकरण में '''<math>4x</math>''' एक समापवर्तक है.
-Thus, '''<math>4x(2x-1)</math>'''are the factors of<math>8x^2-4x=0</math>
+अत:, '''<math>4x(2x-1)</math>''', <math>8x^2-4x=0</math> के समापवर्तक हैं
 === अंतर विधि का योग ===
-The sum and the difference of two terms are most likely used when the two factors match exactly, except one term involves addition and the other is a difference.
+दो पदों का योग और अंतर सबसे अधिक संभावना तब उपयोग किया जाता है जब दो कारक बिल्कुल मेल खाते हैं, सिवाय इसके कि एक पद में जोड़ उपस्थित होता है और दूसरा अंतर होता है।
-For example: '''<math>(a+b)(a-b)</math>'''
+उदाहरण के लिए: '''<math>(a+b)(a-b)</math>'''
-When we expand and multiply these terms, we get '''<math> a \times a +ab-ab-b \times b</math>'''
+जब हम इन पदों को विस्तारित और गुणा करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है '''<math> a \times a +ab-ab-b \times b</math>'''
-Like terms will be in the middle and will result in zero, thus leaving behind '''<math>a^2</math>'''and '''<math>-b^2</math>'''
+समान पद मध्य में होंगे और परिणाम शून्य होगा, इस प्रकार पीछे रह जाएगा  '''<math>a^2</math>'''और '''<math>-b^2</math>'''
-Thus, the formula becomes '''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>'''
+इस प्रकार, '''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>''' सूत्र बन जाता है
 '''उदाहरण'''