गुणनखंडन: Difference between revisions

Revision as of 10:11, 2 November 2024

गुणनखंडन या गुणनखंडीकरण क्या है?

जब हम किसी संख्या या बहुपद को अन्य बहुपदों के कई गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित करते हैं, जिसे गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है, तो इसे गुणनखंडन कहा जाता है।

किसी संख्या का गुणनखंड करने के लिए, हम गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणनखंडन एक इकाई (उदाहरण के लिए, एक संख्या, या एक बहुपद) को किसी अन्य इकाई या गुणक के गुणनफल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है, जिसे एक साथ गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।

गुणनखंडन सूत्र बड़ी संख्या को छोटी संख्याओं में विभाजित करता है, जिन्हें गुणनखंड कहा जाता है। गुणनखंड वह संख्या है जो किसी दिए गए पूर्णांक को बिना कोई शेष छोड़े पूर्णतः विभाजित कर देती है।

उदाहरण के लिए - $28=2\times 2\times 7$ का अभाज्य गुणनखंडन और

गुणनखंडन आरंभ करने से पहले, आइए 'गुणनखंड' शब्द को जान लें।

गुणनखंड क्या है?

गुणनखंड संख्याएँ, बीजगणितीय चर, या बीजगणितीय व्यंजक हैं जो संख्या या बीजीय व्यंजक को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए $9$ का एक गुणनखंड $1,3,9$ है

गुणनखंडन सूत्र क्या है?

गुणनखंडन सूत्र किसी संख्या को शीघ्रता से छोटी संख्याओं या संख्या के गुणनखंडों में विभाजित कर देता है। गुणनखंड वह संख्या है जो दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित कर देती है। किसी दिए गए मान का गुणनखंडन सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,

$N=x^{a}\times y^{b}\times z^{c}$

जहां,

$N$ = कोई भी संख्या
$x,y,z$ =संख्या $N$ के गुणनखंड
$a,b,c$ = क्रमशः कारक $x,y,z$ के घातांक।

बीजीय समीकरण के लिए गुणनखंडन सूत्रों की सूची

ऐसी कई बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ हैं जो हमें बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंडन और द्विघात समीकरणों के गुणनखंडन में सहायता करती हैं। यहाँ कुछ सूचीबद्ध हैं।

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}$
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

उदाहरण

राम संख्या 40 का गुणनखंडन करना चाहता है। 40 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है? इसे गुणनखंडन सूत्र का प्रयोग करके हल करें।

हल:

ज्ञात करने के लिए: $40$ का अभाज्य गुणनखंडन।

गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हुए,

किसी भी संख्या के लिए गुणनखंडन सूत्र,

$N=x^{a}\times y^{b}\times z^{c}$

$40=2\times 2\times 2\times 5$

$40=2^{3}\times 5$

$40$ = $2^{3}\times 5$ का अभाज्य गुणनखंड

2. गुणनखंडन करें $a^{2}-625$

हल:

$a^{2}-625=a^{2}-25^{2}$

ज्ञात सर्वसमिका का उपयोग करके, हम इस बहुपद का गुणनखंड बना सकते हैं

$a^{2}-25^{2}$ का स्वरूप $a^{2}-b^{2}$ है

हम यह जानते हैं $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

इस प्रकार हम बहुपद का गुणनखंड इस रूप से करते हैं $(a+25)(a-25)$

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 उदाहरण के लिए <math>9 </math> का एक गुणनखंड <math>1,3,9  </math> है
 == गुणनखंडन सूत्र क्या है? ==
-The factorization formula factorizes a number quickly into smaller numbers or factors of the number. A factor is a number that divides the given number without any remainder. The factorization formula of a given value can be expressed as,
+गुणनखंडन सूत्र किसी संख्या को शीघ्रता से छोटी संख्याओं या संख्या के गुणनखंडों में विभाजित कर देता है। गुणनखंड वह संख्या है जो दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित कर देती है। किसी दिए गए मान का गुणनखंडन सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,
 <math>N = x^a\times y^b \times z^c </math>
-where,
+जहां,
-* <math>N </math>= Any number
+* <math>N </math>= कोई भी संख्या
-* <math>x,y,z </math> = Factors of number <math>N </math>
+* <math>x,y,z </math> =संख्या <math>N </math> के गुणनखंड
-* <math>a,b,c </math> = exponents of factors <math>x,y,z </math> respectively.
+* <math>a,b,c </math> = क्रमशः कारक <math>x,y,z </math> के घातांक।
 == बीजीय समीकरण के लिए गुणनखंडन सूत्रों की सूची ==
-There are many algebraic identities that help us in the factorization of algebraic expressions and the factorization of quadratic equations. Here are listed a few.
+ऐसी कई बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ हैं जो हमें बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंडन और द्विघात समीकरणों के गुणनखंडन में सहायता करती हैं। यहाँ कुछ सूचीबद्ध हैं।
 * <math>(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 </math>
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 == उदाहरण ==
-# Ram wants to factorize number <math>40 </math>. What the prime factorization of <math>40 </math>? Solve it by using the factorization formula.
+# राम संख्या 40 का गुणनखंडन करना चाहता है। 40 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है? इसे गुणनखंडन सूत्र का प्रयोग करके हल करें।
 '''हल:'''
-To find: Prime factorization of <math>40 </math>.
+ज्ञात करने के लिए: <math>40 </math> का अभाज्य गुणनखंडन।
-Using Factorization Formula,
+गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हुए,
-Factorization Formula for any number,
+किसी भी संख्या के लिए गुणनखंडन सूत्र,
 <math>N = x^a\times y^b \times z^c </math>
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 <math>40 = 2^3\times 5 </math>
-Prime factorization of <math>40 </math> = <math>2^3\times 5 </math>
+<math>40 </math> = <math>2^3\times 5 </math> का अभाज्य गुणनखंड
-.  Factorize <math>a^2-625 </math>
+.  गुणनखंडन करें <math>a^2-625 </math>
 '''हल:'''
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 <math>a^2-625=a^2-25^2 </math>
-Using the known identity, we can factorize this polynomial
+ज्ञात सर्वसमिका का उपयोग करके, हम इस बहुपद का गुणनखंड बना सकते हैं
-<math>a^2-25^2 </math> is of the form <math>a^2-b^2 </math>
+<math>a^2-25^2 </math>का स्वरूप <math>a^2-b^2 </math> है
-We know that <math>a^2-b^2 = (a+b)(a-b) </math>
+हम यह जानते हैं <math>a^2-b^2 = (a+b)(a-b) </math>
-Thus we factorize the polynomial as <math>(a+25)(a-25) </math>
+इस प्रकार हम बहुपद का गुणनखंड इस रूप से करते हैं <math>(a+25)(a-25) </math>